不为求赏，愿意帮忙！
根据楼主介绍的情况，提出以下分析和建议。
1.楼主是从部队转业到地方的街道办事处，街道办事处应属于政府的派出机构，但是，从楼主介绍的情况来看，楼主不是公务员系列的。可以认为楼主属于行政机关（或者是事业单位）的固定工（不属于公务员）。劳动合同制度，是1993年开始试点，1994年10月全面推广，即所谓的全员劳动合同制度。固定工（包括有一些自收自支的事业单位事业编制的人员）转为劳动合同制职工。
楼主在1991年底与街道办事处签订“停薪留职合同”，当时还算不得是劳动合同制职工。如果现在要以劳动合同制职工的名义“打官司”（如二楼网友的建议），未必见得有胜算把握！毕竟签订“停薪留职合同”当时根本就没有法律依据或者政策依据！无法判断对错！
2.关于“停薪留职合同”，在上一世纪90年代中末期时，是一种非常普遍的做法，并没有法律或者政策规定加以禁止。直到2003年以后，才有一些地方的政府出台意见（不属于法律法规或者劳动政策），不允许办理“停薪留职”，而是改为“进入再就业中心”的方式安排下岗。
因此，对于已经签订的“停薪留职合同”并不是一概认定为是非法的、无效的，一般认定为是“双方对于劳动合同履行方式的协商变更”，只要没有与明确法律规定相违背的，还是按照双方的“停薪留职合同”的约定处理。
楼主是1991年底与单位签订的“停薪留职合同”，当时，就根本没有劳动合同制，法律法规及劳动政策也没有明确的规定。如果楼主“打官司”，最大可能的结果就是：没有法律法规规定，尊重双方真实的意思表示，维持合同的约定。不一定会支持楼主的诉求！况且，也是楼主自己不想干、借由而为之的！
3.职工医疗保险，国家是在1998年开始试点，1999年开始推广的。经查，辽宁省人民政府一九九九年四月一日出台《辽宁省城镇职工医疗保险制度改革实施意见》（辽政发〔1999〕14号）。楼主可查网站：
楼主的居住地——锦州市政府于二00一年九月二十九日出台《锦州市城镇职工基本医疗保险暂行办法》（锦政规[2001]17号）
也就是说，在1991年签订的“停薪留职合同”中，应当不会有关于“医疗保险”的约定条款的！所以，单位不给解决（主要问题或许就是缴费由谁出的矛盾），也并非没有有理由。所以，楼主为此而“打官司”，未必占理！
综上，不倾向于楼主采取仲裁或者诉讼方式解决，或许这样有也根本解决不了，因为，既没有法律依据，也没有合理性依据，很难判处的！
4.建议：楼主可以与单位协商，由单位为自己办理医保手续，所需缴纳的缴费，自己来承担，如果可以的话，甚至于可以将2001年至2009年期间的欠费一并补齐，为好。因为按照锦州市的规定，医保缴费必须“男职工缴纳基本医疗保险费必须满30年，女职工必须满25年”，否则，退休时缴费年限不够的，还要继续缴纳（是从退休金中扣除），不交的话，就会中断医疗保险待遇（退休后人老多病是必然的，医保待遇不可或缺的）。而且，以前的工龄，可以视为缴费年限，计作为累计缴费年限（凑足30年吗！）。
这样做，必须单位给予提供方便的，要不然又要为此打官司的！
5.如果单位不为自己办理的话，或许只有打一场官司了，最好找专业律师代理。
6.退一步想，如果打官司不能胜诉的话，只好自己办理城镇居民医疗保险，缴费较低，但是，医保待遇也低，且必须持续投保。或者投保商业医疗保险，费用较高的，且需持续投保。
以上意见，供参考！