求数学帝解一高中数学题 解析几何

Question

线段AB过y轴上一点P(0.m)(且m>0),斜率为k,两端到y轴的距离之差为4k(k>0) 以O为顶点，y轴为对称轴，且过A、B两点的抛物线方程；Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M、N，求证：直线MN过一定点.

Answer 1

设抛物线方程为：x²=2py①
直线AB的方程设为：y-m=kx②
因为两端到y轴的距离之差为4k
即代入②到①的方程的两根之差的绝对值为4k
代入有2p(kx+m)=x²
x²-2kpx-2pm=0
两根之差为√△/|a|=√[(2kp)²+8pm]=4k
k²p²+2mp-4k²=0③
抛物线的准线为x=-p/2
它上的点Q设为(-p/2,M)
过Q的切线方程设为Y-M=A(X+p/2)④
④代入抛物线方程当且仅当△=0时它们才相切
代入为：X²=2p[M+A(X+p/2)]
X²-2pAX-(2pM+2Ap²/2)
令△=0
△=(2pA)²+4(2pM+2Ap²/2)
=