一个关于积分上限求导公式的疑问

Question

令F(x)=∫(0,x) (x^2-t^2)dt 式1 下面对其求导： 如果先把F（x）积出来，有F（x）=x^3-x^3/3+C=(2x^3)/3+C, 再对x求导有F'(x)=2x^2 但是如果直接对式1用积分上限求导公式有（∫(0,x) (x^2-t^2)dt）'= x^2-x^2 =0; 两者怎么不一样呢

Answer 1

直接积分求出的F(x)没有问题。
直接对①式求导，你做的不对。
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变上限积分的导数公式，其应用的前提是，被积函数的表达式不能含有积分上下限中的变量，你这个积分里面，被积函数就含有上限字母x，正确的做法应该是先对积分进行恒等变形，使被积函数只含有积分变量t
，使x分离出来：
解：F(x)＝∫
(x²-t²)dt＝
∫
x²dt－∫
t²dt＝
x²·
∫
dt
－
∫
t²dt
＝
x²·(x－0)－∫
t²dt
＝x³－∫
t²dt
也就是说，F(x)＝x³－∫
t²dt
，其中积分上下限分别是x
和0
现在你才能用变上限积分的导数公式对它求导：F'(x)＝3x²－x²＝2x²