设a和b分别包含m和n个元素的有限集,由a和b可以定义的关系数是

Question

A和B是非空的数集,A有m个元素,B有n个元素,那么从A到B能确定多少个函数?求详解,
为什么是n的m次方，而不是n乘以m？

Answer 1

根据函数的定义,A中的每一个元素在B中要指定一个像,因此,从A到B的每一个函数都可以分成m个步骤来完成,即对A中的每一个元素指定B中的一个元素作为它的像,每一个步骤可以有n种选择,所以根据乘法原理（分步计数原理）,有n的m次方个不同的函数.
补充说明：A中有m个元素,每一个都指定了B中元素作为它对应的像之后才成为从A到B的函数,而每一个A中的元素可以对应B中的任意一个元素,B中有n个元素,因此每个A中的元素的对应元素都有n种选择.m个n种选择即是m个n相乘,得到n的m次方.
另外,这个问题的进一步讨论是有意思的,比如,有多少单射?有多少满射?等.