(1)
设OM与x轴夹角θ，与切线夹角α，斜率为k，
则两切线与x轴夹角分别为θ-α，θ+α，设切线对应斜率k1，k2，
OM距离为√（4²+8²）=4√5，圆半径2，可得M到切点距离2√19，
则tgα=2／2√19=1／√19，k=tgθ=8／（-4）= -2，故
k1=tg（θ-α）=（tgθ-tgα）／（1+tgθtgα）
=（-2-1／√19）／（1-2／√19）= -（√19 +8）／3，
k2=tg（θ+α）=（tgθ+tgα）／（1-tgθtgα）
=（-2+1／√19）／（1+2／√19）=（√19 -8）／3，
故切线方程为y= -（√19 +8）／3（x+4）+8，
或y=（√19 -8）／3（x+4）+8，
【方法二】
设切线为y-8=k(x+4)即kx-y+4k+8=0
圆心（0，0）到直线的距离为｜4k+8｜/√(1+k²)=2，
即4²（k+2）²／（1+k²）-4=0，
4（k²+2k+4）／（1+k²）-1=0，
（3k²+8k+15）／（1+k²）=0，
有3k²+8k+15=0，
解得k=(-8±√19)/3。
（2）设过点N的直线y=k（x-3），
代入圆的方程。（其实不用代入不用解，因为下面算面积的弦长中，要有意义则需4-5k²＞0），
x²+k²（x-3）²=4，
即（1+k²）x²-6k²x+（9k²-4）=0，
要有两个交点，则必须△＞0，即
（6k²）²-4（1+k²）（9k²-4）＞0，
解得-2／√5＜k＜2／√5，
直线到圆心距离为|3k|∕√（1+k²），
而半径为2，则弦长为2√2²-（|3k|∕√（1+k²））²=2√[（4-5k²）／（1+k²）]，
故S△OAB=2√[（4-5k²）／（1+k²）]*|3k|∕√（1+k²）／2=（3√k²（4-5k²））／（1+k²）
=3√4/5-（k²-2/5）²，（-2／√5＜k＜2／√5），
显然当k²-2/5时值最大Smax=6√5／5，此时斜率为±√10／5.
