在函数分析中，三个关键概念——可导、连续和可微，紧密相连又有所区别。首先，函数在点[公式]处可导，意味着当自变量微小变动时，函数增量的极限存在且与增量成线性关系，即[公式]存在。连续函数的可导性要求函数在该点的左右导数相等，这是充分且必要条件。
连续性则需要函数在某点有定义，函数值的极限存在，且在该点两侧函数值趋近于同一值。函数可导一定连续，但连续不一定意味着可导，不连续则必然不可导。偏导数的连续性是判断多元函数可微的一个重要条件。
函数在某点可微，意味着当函数增量Δy与Δx相关，存在常数A使得[公式]，且A与Δx无关。可微的必要条件是偏导数存在，且充分条件是偏导数存在且连续。然而，连续和可微之间的关系在多元函数中更为复杂，一元函数中可导等价于可微，但在多元函数中，可偏导并不一定保证连续性或可微性，但若偏导数在某点具有连续性，则可推断该函数在该点可微。
通过反例，我们可以看到连续性并不能直接推导出可导性或可微性，例如[公式]和[公式]。多元函数中，如[公式]和[公式]展示了连续与可偏导及可微的关系。在多元函数中，可微性不仅需要偏导数存在，还需要它们在该点具有连续性，而偏导数的连续性并不能保证可微性，如[公式]和[公式]所示。