第1个回答 2022-07-17
一.函数极限的定义(记)
记函数极限存在的充要条件,左极限和右极限都存在且相等。
另外需记等式脱帽法:
二.函数极限的性质
唯一性,极限存在必唯一
局部有界性,在极限点某个范围内,函数会小于某个常数
局部保号线,在极限点某个范围内,函数会与极限符号一致。
三.极限运算法则
在两个函数极限值都存在的前提下,才能将一个函数拆开成这两个函数分别求极限。
四.夹逼准则
一个函数,如果有大于它的函数和小于它的函数且极限值都一样,那么这个函数极限也存在并拥有相同极限值。
五.洛必达法则
如果两个函数在求极限时,都趋于零(无穷大),且存在于去心邻域内存在,且在下面的那个函数导数不为0,并且上下在有限次求导后能得到极限值存在或无穷大,则可以用洛必达。
六.泰勒公式
重要泰勒公式:
型,需要把上下展开为同阶
需要记住 型,展开为系数不相等的最低次幂
七.海涅定理(归结原则)
极限存在在,任何邻域内以此点为极限的数列也存在,反过来也成立。可以用于里纳西数列极限和函数极限,进行相互转化。
可以通过证明数列极限不存在来证明函数极限不存在。也可以通过计算函数极限,求数列极限。
八.无穷小比阶
0是特殊的无穷小常数,最高阶无穷小
如果两个函数相除等于1是等价无穷小,常数是同阶无穷小,0是高阶的无穷小, 是低阶无穷小。差了k次,则称为k阶无穷小。
运算规则:有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,有限个无穷小的乘积是无效小。加减法是低阶吸收高阶,乘法时结束累加,非常常数相乘不影响阶数。
另需记常见的等价无穷小。
九.函数的连续点
点邻域内有定义且极限存在与函数在此点连续是充要条件。
十.函数的间断点
第一类间断点:
可去间断点,此点极限与此点函数值不同。
跳跃间断点,左右极限都存在但不想等。
第二类间断点:
无穷间断点,此点极限为无穷。
震荡间断点,极限震荡不存在。