令y=n/(n!)^(1/n)=[(n^n)/n!]^(1/n)
取对数：lny=(1/n)[nlnn-lnn-ln(n-1)-...-ln1]
=(1/n){ln[n/(n-1)]+ln[n/(n-2)]+...+ln[n/1]}
=(1/n){ln[1/(1-1/n)]+ln[1/(1-2/n)]+...+ln[1/(1-(n-1)/n)+ln[1/(1-n/n)]}
=(1/n)Σln[1/(1-i/n)] i=1到n
因此：
lim[n→∞] lny
=lim[n→∞] (1/n)Σln[1/(1-i/n)] i=1到n
=∫[0→1] ln[1/(1-x)] dx
=∫[0→1] ln(1-x) d(1-x)
=(1-x)ln(1-x) + ∫[0→1] 1 dx
=(1-x)ln(1-x) + x |[0→1]
=1
因此：lim[n→∞] y = e
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追问“因此后面那点没看懂……初学者……麻烦解释一下，”
追答定积分学过吗？这里用的是定积分的定义。
∫[0→1] f(x) dx=lim[λ→0] Σ[i=1→n] f(ξi)Δxi
下面做一个特殊分划：将[0,1]区间n等分，则每个小区间长度为1/n
这样：Δxi=1/n，λ→0等价于n→∞
然后ξi取区间右端点，即：ξi=i/n
这样：右边的极限化为
lim[n→∞] (1/n)Σ[i=1→n] f(i/n)
也就是说：lim[n→∞] (1/n)Σ[i=1→n] f(i/n)=∫[0→1] f(x) dx
这样就说明了：lim[n→∞] (1/n)Σln[1/(1-i/n)] = ∫[0→1] ln[1/(1-x)] dx
追问恩呢，这个懂了，但是因此下面第三行到第四行是怎么过来的？
追答ln[1/(1-x)]=-ln(1-x)，这是对数的基本性质，中学知识
下一步是分部积分
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