在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF‖AC交DE的延长线于点F

Question

如题所述

Answer 1

（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．（2分）
又∵D为BC的中点，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，

BF=CD
∠CBF=∠ACD=90°
CB=AC

，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF=∠CAD．（4分）
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．（6分）

（2）△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，（8分）
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形．（10分）