第1个回答 2021-02-14
一、区域涂色问题
1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。
例、用种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
解析：先给①号区域涂色有种方法；再给②号涂色有种方法；接着给③号涂色方法有种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有种涂法。根据分步计数原理，不同的涂色方法有种。
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。
例、种不同的颜色涂在如图所示的个区域，且相邻两个区域不能同色。
解析：依题意只能选用种颜色，要分四类：
一②与⑤同色、④与⑥同色，则有种；
二③与⑤同色、④与⑥同色，则有种；
三②与⑤同色、③与⑥同色，则有种；
四③与⑤同色、②与④同色，则有种；
五②与④同色、③与⑥同色，则有种。
根据分类计数原理得涂色方法总数为。
例、如图所示，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。现有种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？
解析：依题意至少要用种颜色。
①若用种颜色，区域与必须同色，
区域与必须同色，故有种；
②若用种颜色，则区域与同色，
区域与不同色，有种；或区域与同色，区域与不同色，有种。共有种。
根据分类计数原理得满足题意的着色方法共有。
3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。
例、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，五种颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
解析：可把问题分为三类：
①四格涂不同的颜色，有种；
②有且仅有两个区域颜色相同，即只有
一组对角小方格涂相同的颜色。涂法种数有
；
③两组对角小方格分别涂相同的颜色，有种。
根据分类计数原理得涂法种数共有种。
4、根据相间区域使用颜色分类讨论。
例、如图，个扇形区域、、、、、，现给这个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有种不同的颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法?
解析：①当相间区域、、着同一种颜
色时，有种着色方法，此时、、各有
种着色方法，共有种方法。
②当相间区域、、着两种不同
的颜色时，有种着色方法，此时、、
有种着色方法，共有种方法。
③当相间区域、、着三种不同的颜色时有种着色方法，此时、、各有种着色方法，共有种方法。
总计有种不同的涂色方法。
5、用数列递推公式解决扇形区域涂色问题。
例、把一个圆分成个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种不同的染色方法？
解析：设个扇形分别为、、、，分成个扇形时的染色方法有种，则
①当时、有种染色方法，即。
②当分成个扇形时，与不同色，与不同色，，与不同色，共有种染色方法。由于与相邻，应排除与同色的情形。
与同色时，可把、看成一个扇形，与前个扇形加在一起为个扇形，此时有种染色法。故有如下递推关系：