设A为m*n实矩阵,ATA为正定矩阵,证明:线性方程组AX=0只有零解

Question

如题所述

Answer 1

若Ax＝0，左乘x^TA^T得x^TA^TAx=0，于是x^T(A^TA)x=0，由于A^TA正定，故x＝0，因此
Ax＝0只有零解。

Answer 2

知识点: r(AA^T) = r(A^TA) = r(A)

因为 A^TA 是n阶正定矩阵
所以 r(A) = r(A^TA) = n
所以 AX=0 只有零解.