第1个回答 2012-08-04
理想化的抽象。 即指抽象层次性的简约阶段，由实际的事物或现象引出抽象概念的方法，其中包括对于真实事物或现象的简化与完善化，从而得出的数学概念与现实原型未必完全符合。例如，“没有大小的点”、“没有宽度的线”、“没有厚度的面”等等几何概念都是简约化的结果。平面几何中已经证明任意三角形三个角的平分线交于一点，但真实世界的经验告诉我们，无论绘图员多么细心、采用多么精确的工具，他所画图形中的三条角分线也只是近似地相交。这种理性化的抽象已从空间经验推进到整个数学世界。亚里士多德曾描述这个过程：“数学家舍去一切感性的东西，如重量、硬度、热，只留下量和空间连续性。”
强抽象与弱抽象。 弱抽象也可以称作“概念扩张式抽象”，即从原型（或已有概念）中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例。例如，由全等形的概念出发，借助弱抽象就可获得相似形及等积形的概念，它们分别保存了“形状相似”与“面积相等”的特性。相对于后者而言，全等形的概念就可以说是一个原型，而由全等形的概念出发去建立相似形及等积形的概念则就是弱抽象的过程。人们可以将一类或某种结构内容较为丰富的对象作为弱抽象的原型，并通过特征分离和规范化的定义方法去构造出更为一般的模式。
存在性抽象。 作为人类思维能动性的一种重要表现形式，有时可以假设一个原先认为不存在的“对象”的存在性，也即引进所谓的“理想元素”，并由此而发展起一定的数学理论。例如，虚数 i以及无穷远点的引进就是这样的例子。