第1个回答 2012-08-17
关于动点问题的总结
“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
一、建立函数解析式
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,
一、应用勾股定理建立函数解析式
例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.
(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.
(2)设PH ,GP ,求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 的取值范围).
H
M
N
G
P
O
A
B
图1
(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.
解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH= NH= OP=2.
(2)在Rt△POH中, , ∴ .
在Rt△MPH中,
.
∴ =GP= MP= (0< <6).
(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况:
①GP=PH时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,且符合题意.
②GP=GH时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,但不符合题意.
③PH=GH时, .
综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为 或2.
二、应用比例式建立函数解析式
例2（2006年·山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD= CE= .
(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 与 之间的函数解析式；
A
E
D
C
B
图2
(2)如果∠BAC的度数为 ,∠DAE的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中 与 之间的函数解析式还成立?试说明理由.
解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,
∴∠CAE=∠ADB,
∴△ADB∽△EAC, ∴ ,
∴ , ∴ .
O
●
F
P
D
E
A
C
B
3(1)
(2)由于∠DAB+∠CAE= ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= ,且函数关系式成立,
∴ = , 整理得 .
当 时,函数解析式 成立.
例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.
●
P
D
E
A
C
B
3(2)
O
F
(1)求证: △ADE∽△AEP.
(2)设OA= ,AP= ,求 关于 的函数解析式,并写出它的定义域.
(3)当BF=1时,求线段AP的长.
解:(1)连结OD.
根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.
又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP.
(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴ , ,
∴OD= ,AD= . ∴AE= = .
∵△ADE∽△AEP, ∴ , ∴ . ∴ ( ).
(3)当BF=1时，
①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.
∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,
∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.
∴5- =4,得 .可求得 ,即AP=2.
②若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.
类似①,可得CF=CE.
∴5- =2,得 .
可求得 ,即AP=6.
综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
A
B
C
O
图8
H
例4（2004年·上海）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC= ,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO= ,△AOC的面积为 .
(1)求 关于 的函数解析式,并写出函数的定义域.
(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,
△AOC的面积.
解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.
∵∠BAC=90°,AB=AC= , ∴BC=4,AH= BC=2. ∴OC=4- .
∵ , ∴ ( ).
(2)①当⊙O与⊙A外切时,
在Rt△AOH中,OA= ,OH= , ∴ . 解得 .
此时,△AOC的面积 = .
②当⊙O与⊙A内切时,
在Rt△AOH中,OA= ,OH= , ∴ . 解得 .
此时,△AOC的面积 = .
综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为 或 .
二：动态几何题
动态几何特点----问题背景是特殊图形，（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值
一、以动态几何为主线的题
（一）点动问题．
1．如图， 中， ， ，点 在边 上，且 ，以点 为顶点作 ，分别交边 于点 ，交射线 于点 ．
（1）当 时，求 的长；
（2）当以点 为圆心 长为半径的⊙ 和以点 为圆心 长为半径的⊙ 相切时，
求 的长；
（3）当以边 为直径的⊙ 与线段 相切时，求 的长．
[题型背景和区分度测量点]
解：（1） 证明 ∽ ∴ ，代入数据得 ，∴AF=2
（2） 设BE= ,则 利用（1）的方法 ，
相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切， ， ；
内切， ， ．
∴当⊙ 和⊙ 相切时， 的长为 或 ．
（3）当以边 为直径的⊙ 与线段 相切时， ．
（二）线动问题
在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长；
A
B
C
D
E
O
l
A′
(2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝ AC，设AD的长为 ，五边形BCDEF的面积为S.①求S关于 的函数关系式，并指出 的取值范围；
②探索：是否存在这样的 ，以A为圆心，以 长为半径的圆与直线l相切，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
(1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝ AC
∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6
(2)① ， ， ，
∴ ，
( )
②若圆A与直线l相切，则 ， (舍去)， ∵ ∴不存在这样的 ，使圆A与直线l相切．
（三）面动问题
如图，在 中， ， 、 分别是边 、 上的两个动点（ 不与 、 重合），且保持 ，以 为边，在点 的异侧作正方形 .
（1）试求 的面积；
（2）当边 与 重合时，求正方形 的边长；
（3）设 ， 与正方形 重叠部分的面积为 ，试求 关于 的函数关系式，并写出定义域；
（4）当 是等腰三角形时，请直接写出 的长．
解：（1） .
（2）令此时正方形的边长为 ，则 ，解得 .
（3）当 时， ，
当 时， .
（4） .
A
B
F
D
E
M
N
C
已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30º，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N．
（1）求证：△BDM∽△CEN；
（2）设BD= ，△ABC与△DEF重叠部分的面积为 ，求 关于 的函数解析式，并写出定义域．
（3）当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点D，使以M为圆心, BM为半径的圆与直线EF相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．
例1：已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上变化（不与A、B）重合，求∠ACB的大小 .
分析：点C的变化是否影响∠ACB的大小的变化呢?我们不妨将点C改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO、BO，则由于AB=OA=OB，即三角形ABC为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB= ∠AOB=300，
当点C在劣弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由∠AOB=600得，优弧AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500，
因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.
专题三：双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.
1 以双动点为载体，探求函数图象问题
例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C. 设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.
(1)分别求出梯形中BA，AD的长度；
(2)写出图3中M，N两点的坐标；
(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.
2 以双动点为载体，探求结论开放性问题
例2 (2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.
(1)求∠BAO的度数.
(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.
(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.
解 (1)∠BAO=60°.
(2)点P的运动速度为2个单位/秒.
3 以双动点为载体，探求存在性问题
例3 (2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.
(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；
(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；
(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.
4 以双动点为载体，探求函数最值问题
例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0).E到达C，F到达A停止.若E的运动时间为x(s)，解答下列问题：
(1)当0<X
(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式； (图10为备用图)
②求y的最大值.
解 (1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为82，所以AC=16，过B作BO⊥AC于O，则OB=89，因为AE=x，所以S2=4x，因为HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)， 当S1=S2时， 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以当x=6时， S1=S2.
(2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，
当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，
所以S1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.
②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y的最大值为50.
当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，
所以当x=13时，y的最大值为82.
综上可得，y的最大值为82.
评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.
四：函数中因动点产生的相似三角形问题
例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为 ）
⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
例1题图
图1
图2
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况
2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
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