偏导 全微分 极值高数作业求大神

Question

妹妹问我的题。。。以前学的早就还给老师了。。。

Answer 1

作业4做一下，作业5时间长了，还的看书做，身边没有课本了，呵呵。

第一题：
z=xy+x/y
dz=ydx+xdy+(ydx-xdy)/y^2=(y+1/y)dx+(x-x/y^2)dy
所以z对x的偏导数=y+1/y;
z对y的偏导数=x-x/y^2

z=xsin(x+y)
dz=sin(x+y)dx+xcos(x+y)(dx+dy)=[sin(x+y)+xcos(x+y)]dx+xcos(x+y)dy
所以z对x的偏导数=sin(x+y)+xcos(x+y);
z对y的偏导数=xcos(x+y）

z=x^y
lnz=ylnx
dz/z=lnxdy+ydx/x
dz=x^y(y/xdx+lnxdy)
所以z对x的偏导数=x^(y-1)*y;
z对y的偏导数=x^ylnx

u=(x/y)^z
lnu=lnz(x/y)
ylnu=xlnz
lnudy+ydu/u=lnzdx+xdz/z
ydu/u=lnzdx+xdz/z-lnudy
du=u/y[lnzdx-lnudy+xdz/z]
du=(x/y)^z/y[lnzdx-lnudy+xdz/z].
所以：
u对x的偏导数=lnz(x/y)^z/y
u对y的偏导数=-zln(x/y)*(x/y)^z/y
u对z的偏导数=(x/z)*(x/y)^z/y.

第二题：
z(x+y)=(x-y)(lny-lnx)
(x+y)dz+z(dx+dy)=(dx-dy)(lny-lnx)+(x-y)(dy/y-dx/x)
(x+y)dz+zdx+zdy=(lny-lnx)dx-(lny-lnx)dy+[(x-y)/y]dy-[(x-y)/x]dx
dz=[1/(x+y)]{[(lny-lnx)-(x-y)/x-z]dx-[(lny-lnx)-(x-y)/y+z]}dy
则有：
x乘z对x的偏导数=[x/(x+y)][(lny-lnx)-(x-y)/x-z]
y乘z对y的偏导数=-[y/(x+y)][(lny-lnx)-(x-y)/y+z]
二者相加=(lny-lnx)(x-y)/(x+y)-(x-y)+(x-y)-z(x+y)/(x+y)
=[(x-y)/(x+y)]ln(y/x)-x+y+x-y-z
=z-x+y+x-y-z
=0得证。

第三题：
u=x^my^n
lnu=lnx^my^n=lnx^m+lny^n=mlnx+nlny
两边求导得到全微分为：
du/u=mdx/x+ndy/y
du=umdx/x+undy/y
所以：
du=mx^(m-1)y^ndx+nx^my^(n-1)dy

u=ln√(x^2+y^2)
所以：
e^u=√(x^2+y^2)
e^udu=(1/2)(2xdx+2ydy)/√(x^2+y^2)
e^udu=(xdx+ydy)/√(x^2+y^2)
du=(xdx+ydy)/[e^u√(x^2+y^2)]
=(xdx+ydy)/[e^ln√(x^2+y^2)*√(x^2+y^2)]