点p(m,n)在椭圆外，求切线方程

Question

如题所述

Answer 1

点P(m,n)在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1①外，
∴m^2/a^2+n^2/b^2>1，
∴a^2n^2+b^2m^2-a^2b^2>0.
设过P与椭圆①相切的直线为y=kx-km+n,②
把②代入①，得b^2x^2+a^2(kx+n-km)^2=a^2b^2,
整理得(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2k(n-km)x+a^2[(n-km)^2-b^2]=0,
∴△/（4a^2)=a^2k^2(n-km)^2-(a^2k^2+b^2)[(n-km)^2-b^2]=0,
化简得a^2k^2-(n-km)^2+b^2=0,
整理得(a^2-m^2)k^2+2mnk+b^2-n^2=0,
m=土a时k1=(n^2-b^2)/(2mn),k2=∞；
m≠土a时k=[-mn土√(a^2n^2+b^2m^2-a^2b^2)]/(a^2-m^2).
代入②就得到所求的切线方程。
注：k2=∞，相应的切线是x=m.
同理可求另一种情况的切线方程。

Answer 2

方程对x求导：2x/a²+2yy'/b²=0,
得：y'=-(b²x)/(a²y)
设切点为(t, u), 则切线为y=-(b²t)/(a²u)(x-t)+u,
这里t²/a²+u²/b²=1 1）
代入p(m, n)到切线，得：n=-(b²t)/(a²u)(m-t)+u 2)
化简：n=-mb²t/(a²u)+b²t²/(a²u)+u,
n=-mb²t/(a²u)+b²/u
u=(-mt/a²+1)b²/n
将u代入1）式，就得到关于t的一元二次方程，可解得t.（可能无解，1个解，2个解)
从而代入2）得到切线方程,最多可能有2条。本回答被网友采纳

Answer 3