已知函数f(x)在区间(1,1)上单调递减，求不定积分。

Question

如题所述

Answer 1

答案：

1/(x^2-1)=1/(x+1)(x-1)。

=a/(x+1)+b/(x-1)。

=[(a+b)x+(b-a)]/(x+1)(x-1)。

所以a+b=0,b-a=1。

a=-1/2,b=1/2。

所以原式=-1/2∫1/(x+1)dx+1/2∫1/(x-1)dx。

=-1/2*ln|x+1|+1/2*ln|x-1|+C。

=1/2*ln|(x-1)/(x+1)|+C。

把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。