排列组合常见题型及解题策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不 能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34 （3）3 4 【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有6 7种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ） A、3 8 B、8 3 C、38A D、3 8C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠 军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有3 8种 不同的结果。所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 【例1】,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果,AB必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数
有 【解析】：把,AB视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4 424A种 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，2222 3242CAAA=432 种 ☆ 其中男生甲站两端的有12222 23232ACAAA=144，符合条件的排法故共有288 三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规 定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】
七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是 52563600AA种 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有
种不同的插法（具体数字作答） 【解析】： 111789AAA=50 4 【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的
演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为5256AA＝3600 【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工 程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6
项工程的不同排法种数是 【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有25A＝ 20种不同排法。 【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目， 但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变， 则该晚会的节目单的编排总数为
种. 【解析】：111 91011AAA=990 【例6】.马路上有编号为1，2，3„，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三 盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3 5C种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒 模型可使问题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？ 【解析】： 解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A33，○*○*○*○，在四个空 中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A14种，所以每个人左右两边都空位的排法有
3314AA=24种.
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A3
4=24种.
【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
【解析】：先排好8辆车有A88种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9
个空档中任选一个，将空车位置插入有C19种方法，所以共有C19A88种方法.
注：题中*表示元素，○表示空.
四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元
素；再排其它的元素。
【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作， 其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。2333A36A
方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法243
31212ACC；若小张、小赵都入选，则有 选法122
322AA，共有选法36种，选A.
【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 【解析】：老师在中间三个位置上选一个有13A种，4名同学在其余4个位置上有4
4A种方法；所以共有
143472AA种。.
【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【解析】 法一：1656A3600A 法二： 2565
3600AA 法三：36006
66677AAA 五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。高☆考♂资♀源€网 ☆
【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 （2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
（A）510515AA
（B）3
355510515AAAA （C）1515A
（D）3
355510515AAAA
（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共6
6720
A种，选C.
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（2）答案：C
（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有2
4A种，某1个元素排在后半段的四个
位置中选一个有1
4A种，其余5个元素任排5个位置上有5
5A种，故共有1254455760AAA种排法.
五．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小
倍数的方法.
【例1】.,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,AB可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）
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【解析】：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即
5
51602
A种 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？
【解析】：法一：3
9A 法二：996
6
1AA
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原
则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？
【解析】：法一：36A 法二：6633
1AA 六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排
入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
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【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9 种填法，选B.
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 答案：B
【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡， 则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A）6种
（B）9种
（C）11种
（D）23种
【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类： （1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，
（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理，一共有3129
()种分配方式。 故选（B） 【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )
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（A）60种 （B）44种 （C）36种 （D）24种
答案：B
六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？高☆考♂资♀源€网 ☆
（1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； （3） 分成每组都是2本的三个组； （4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本； （5） 分给5人每人至少1本。
【解析】：（1）33251
6CCC （2）33
332516ACCC （3）3
3222426ACCC （4）2
22426CCC （5）211111
5554321544
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