已知数列{an}的前n项和为Sn，给出下列四个命题：①若Sn=n2+bn+c(b...

Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，给出下列四个命题： ①若Sn=n2+bn+c(b，c∈R)，则{an}为等差数列； ②若{an}为等差数列且a1＞0，则数列{a1an}为等比数列； ③若{an}为等比数列，则{lgan}为等差数列； ④若{an}为等差数列，且Sn=100，a2n+1+a2n+2+…+a3n=-120，则S2n=90，其中真命题有_____．

Answer 1

解：因为等差数列的前n项和，是关于n的二次函数，不含非0常数项，所以①不正确；
{an}为等差数列且a1＞0，则数列{a1an}为等比数列，所以an=a1+（n-1）d，
所以a1an=a1a1+(n-1)d，
a1an
a1an-1
=a1a1+(n-1)d-a1-(n-2)d=a1d，
所以数列{a1an}为等比数列，正确．
③若{an}为等比数列，则{lgan}为等差数列，如果an=-2，lgan没有意义，所以不正确；
对于④{an}为等差数列，且Sn=100，a2n+1+a2n+2+…+a3n=-120，则S2n=90，
所以S2n-Sn=90-100=-10，S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=-120，
100，-10，-120，是等差数列，所以④正确；
故答案为：②④．