用奇偶性处理定积分问题？

Question

如题所述

Answer 1

对于一元定积分，如果积分区间为对称区间

那么，当被积函数为奇函数时，定积分为0

积分区间[-1,1] ，为对称区间

而 x(1+x^2001)(e^x-e^(-x) )

=（x+x^2002）(e^x-e^(-x))

=x*(e^x-e^(-x))+x^2002(e^x-e^(-x))

因为(e^x-e^(-x))为奇函数，而x为奇函数，x^2002为偶函数

所以，x*(e^x-e^(-x))为偶函数，x^2002(e^x-e^(-x))为奇函数

所以原式=∫(-1,1) x*(e^x-e^(-x))dx ，（∫(-1,1) x^2002*(e^x-e^(-x))dx =0）

分部积分

=x(e^x+e^(-x)）|(-1,1) -(e^x-e^(-x))|(-1,1)

=4/e

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