利用幂级数展开计算0到1上1-x^2分之Inxdx的定积分

如题所述

第1个回答 2020-04-24

只能求近似值吧:
lnx/(1-x²)
=lnx+x²lnx+x^4lnx+x^6lnx+x^8lnx+...+x^(2n-2)lnx
∫(0,1)[lnx/(1-x²)]
dx
=∫(0,1)lnxdx+∫(0,1)x²lnxdx+∫(0,1)x^4lnxdx+∫(0,1)x^6lnxdx+...+∫(0,1)x^(2n-2)lnxdx
=(-1)+(-1/9)+(-1/25)+(-1/49)+(-1/81)+...+[-1/(2n-1)²]
=-[1+1/9+1/25+1/49+1/81+1/121+1/169+1/225...+1/(2n-1)²]
=-1.20249...
-[1+1/9+1/25+1/49+1/81+...+1/(2n-1)²],当项数趋向无穷时
=-π²/8,这是由计算器计出的精确数值
≈-1.2337

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