第1个回答 2024-08-01
齐次线性方程组Ax = 0的解行为解题关键。若系数矩阵A满秩，即秩等于方程组的未知数数量m，那么唯一的解就是零解。然而，当A不满秩，问题变得有趣：存在无限多解，这时候需要找到其基础解系，这是理解这类方程组的核心。
基础解系的寻找，首先要确定自由变元的数量。当A的秩为m而向量x是n维时，需要找到n-m个线性无关的向量作为自由变量。这些向量组成了基础解系，它们能以线性组合的形式表达出所有可能的解，特别是对那些有无数解的齐次线性方程组而言，这是至关重要的。
值得注意的是，若方程组的行数m小于列数n，即未知数多于方程，那么至少存在一个非零解；反之，若m等于或大于n，所有的解将是零解。通过将系数矩阵A化为阶梯形矩阵，我们可以观察到矩阵的秩r，它小于等于m。当m小于n时，剩余的n-r个元素就成为了自由变元，这些自由变元可以任意赋值，从而导致无数的非零解。
总结来说，求解齐次线性方程组的基础解系，不仅关乎矩阵的秩和自由变量，还涉及了非零解的产生和解空间的特征。理解这些概念有助于我们准确地分析和处理这类线性方程组。