椭圆:x^2/3+y^2=1,圆方程为:x^2+y^2=1,过圆上一动点Q作直线L1,L2,使得L1,L2与椭圆都只有一个公共点

Question

如题所述

Answer 1

分析：设出过点Q（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线方程，联立直线方程与椭圆方程根据交点只有一个，得到关于k与点Q坐标之间的等式，最后再结合Q在伴椭圆上即可的出结论．

解：当l1，l2都有斜率时，设点Q（x0，y0），其中x0²+y0²=4，
设经过点Q（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y=k（x-x0）+y0，
由y=kx+(y0-kx0)
x²/3+y²=1，
消去y得到x²+3[kx+（y0-kx0）]²-3=0
即（1+3k²）x²+6k（y0-kx0）x+3（y0-kx0）²-3=0，
△=[6k（y0-kx0）]²-4•（1+3k²）[3（y0-kx0）²-3]=0，
经过化简得到：（3-x0²）k²+2x0y0k+1-y0²=0，
因为x0²+y0²=4，所以有（3-x0²）k²+2x0y0k+（x0²-3）=0，
设l1，l2的斜率分别为k1，k2，
因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，
所以k1，k2满足方程（3-x0²）k²+2x0y0k+（x0²-3）=0，
因而k1•k2=-1，即直线l1，l2的斜率之积是为定值-1

有疑问可以追问哦，。。，