求证∑e^k>(3n^2-n-2)/n(n+1) 其中k从2到n

Question

不要用数归，用构造函数

Answer 1

证：
n=2时，
(3*2^2-2-2)/(2*3)=4/3<e<e^2，不等式成立。
n>2时，
e^2+e^3+...+e^n=(e^1+e^2+...+e^n)-e^1=e(e^n-1)/(e-1)-e>(3/2)(2^n-1)-5/2
[(3/2)(2^n-1)-5/2]n(n+1)-(3n^2-n-2)
=[(3/2)(2^n-1)-11/2]n^2+[(3/2)(2^n-1)-3/2]n+2
≥5n^2+9n+2 (各项均为正，仅当n=3时取等号)
>0
(3/2)(2^n-1)n(n+1)-(3n^2-n-2)>0
(3/2)(2^n-1)>(3n^2-n-2)/[n(n+1)]
∑e^k>(3n^2-n-2)/n(n+1)

综上，∑e^k>(3n^2-n-2)/n(n+1)

Answer 2

3n^2+3n>3n^2-n-2,两边除以n(n+1)得3>(3n^2-n-2)/n(n+1)，又∑e^k>3，故结论成立。。。？？？？

Answer 3

见图

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Answer 4

即证e^2(1-e^n-1)/(1-e)>3n^2/n(n+1)
即证(1-e^n-1)/(1-e）>1.5
即证e^n-1>1.5(e-1)
即证e^n>1.5e(e-1)
即证e^n>7
n>=3时显然成立，n=2时由表达式也显然成立

Answer 5

看图片