n阶方阵A与任意n阶方阵可交换的充分必要条件是A为数量矩阵

Question

n阶方阵A与任意n阶方阵可交换的充分必要条件是A为数量矩阵n阶方阵A与任意n阶方阵可交换的充分必要条件是A为数量矩阵

Answer 1

按矩阵乘法定义将元素展开
先展开AB和BA对角线上的元素（AB )ii和(BA)ii,根据对应位置相等，并根据B的任意性推出(此处可用反证法，假设有非零元)
（1） （A）ij=0 （i不等于j）
再将AB和BA非对角元即(AB)ij与（BA）ij展开并结合（1）可推出
(2) （A）ii=(A)jj (i不等于j)

结合（1）（2）即可得出结论
这只是一种比较无脑的方法，按这个思路写写就证出来啦，当然充分性是显然的~本回答被网友采纳