OLS，即最小二乘法的基石，其全称蕴含了"普通"之意。然而，WLS则是它的进化版——加权最小二乘法，通过赋予观测值根据误差方差的权重，特别是当遇到异方差问题时，WLS成为我们的首选。实际上，它是OLS在等权重下的特殊扩展，而GLS（广义最小二乘法）是对异方差问题的全面解决方案，通过调整权重以抵消不均匀的误差分布。
WLS在特定假设下具有一致性，但错误地指定方差函数可能导致效率降低。伍德里奇的自学笔记，详尽探讨了计量经济学的应用，特别是章节分解和习题，持续更新以适应实践需求。当方差函数信息明确时，WLS的威力得以释放，它能产生更精确的t/F分布统计量，相对于OLS，效率显著提高。
为消除异方差性，我们通过变换来实现同方差：将hi转化为sqrt(hi)，使其条件期望在xi上为零，方差保持σ²。这样，尽管Bj斜率参数可能不直观，但它们对于理解原始方程却至关重要。
在变换后，我们看到了WLS的调整作用，它通过权重1/hi来处理异方差，而GLS则利用ui|xi的条件方差的逆。对于估计的异方差函数，如FGLS（可行广义最小二乘法）和EGLS（估计的广义最小二乘法），它们分别基于估计的h^_i和特定假设h(x)的形式，如指数函数。
然而，线性模型有时会产生负预测值，这就需要WLS来确保结果的正性。在参数已知的情况下，直接使用WLS；数据驱动的权重估计则在参数未知时派上用场。而在假设独立性时，v的分布应为v ~ 1 | x。
FGLS在大样本中处理异方差表现出色，特别是在需求分析中，如探讨香烟需求的案例。尽管OLS可能揭示出收入和价格对需求的影响微弱，但在非理想情况下，WLS仍能提供有价值的线性模型洞察。
关键问题：如果误设了异方差函数，WLS的效果会如何呢？答案是，在多元线性回归（MLR）的假设下，即使方差函数设定有误，WLS估计量本身通常不会产生偏误或不一致性。然而，当权重误差与x相关时，WLS的标准误差和检验统计量将失效。解决策略是先用OLS估计，随后计算稳健标准误差，以保持与WLS等价的效率。
现代观点质疑，当方差函数估计错误时，WLS是否真的比OLS更有效率。在二元变量y的线性概率模型中，除非斜率参数为零，否则处理异方差尤为重要。尽管最直接的方法可能是使用OLS，但忽略异方差形式可能会带来效率损失。深入理解LPM的异方差性，以及如何计算稳健标准误差，是确保模型稳健性的关键所在。