在大家做实证分析的最初阶段，经常会有一个困扰：原本主效应很符合预期目标，但加入了一个或几个控制变量后，主效应要么符号变了，要么不显著了。可是，关键控制变量不加入的话，审稿人必然会提出质疑。这是怎么回事了？
要回答这个问题，让我们先从条件期望说起。
春节临近，如何应对亲戚的“问候杀”，是一个亟待解决的现实问题。试想，举国欢庆的日子，大家齐坐一堂，面对读硕读博归家的你，七大姑问到：“大闺女，老大不小了，该干点正事谈个对象什么的呢，读那么多书干嘛呀”，你咽了咽口水“读书好啊，以后可以多挣钱孝敬您老人家”，话音未落，八大姑道：“哎呀瞎说，你看隔壁二狗子，高中没读完去做生意，现在赚老多钱了”….气氛顿时尴尬了，除了咽口水外，该怎么“杠”回去…
那就要了解条件期望的概念了：条件期望函数记为 ，是关于 的函数，考虑到 是随机的，所以条件期望函数也是随机的。比如给定 为受教育水平的一个定值，如 ，那么 就是表示所有读 12 年书的个体，其收入水平的期望值。
图中，横轴表示受教育水平，纵轴则为收入，在每一个给定的受教育水平下（如：受教育年限 12 年），收入服从一个近似正态的随机分布。可以看到，由于存在着无法忽视的个体差异，使得某些低教育者的收入要高于某些高教育者的收入，但通常而言，教育水平高的人赚的更多。
看到这里，学习过初级计量经济学的同学肯定会想到，对，是“个人能力”的影响，是“个人能力”让二狗子和大闺女产生了收入的差异。确实如此，那么“个人能力”便是一个需要控制的重要变量。
让我们回到“小儿辩车”的引子。调入官方自带的汽车数据，研究汽车长度 length 对汽车价格 price 的影响。在多元回归中，加入的控制变量分别为里程数 mpg 和汽车重量 weight
虚线拟合线表示了不加入控制变量时 length 的影响，而实线是加入控制变量之后的。由之初的右上倾斜变为右下倾斜，这是一个本质性地改变。
对比 length 的系数可见，在一元回归时该系数显著为正（57.2），而加入控制变量后，系数为负（-104.9）并在 10% 的水平下显著。
若真实的回归模型为 ① ，若此时将 的“贡献”剔除掉之后，得到的回归模型是 ② ，此时的 = ，因此 ，出现了内生性问题。
此时，若对②式进行回归，我们可以得到一个 的系数值，但是再加入 后，即再对①式进行回归，我们发现系数 的系数值变了 ，其原因就是出现了我们上述所讨论的问题。
先进行正常的多元回归，加入主效应变量 length 和控制变量 mpg weight
接着，我们利用解构回归（regression anatomy）（参考《基本无害的计量经济学》）来“解读”正常的多元回归：1.先用 length 对控制变量 mpg weight 进行回归，然后可以得到一个残差项。2. 再用被解释变量对上一步的残差项进行回归。
可以看到，最后得到的主效应估计结果一致，均为 -104.9 。在用 length 对控制变量 mpg weight 回归后得到的残差项，表示 length 剔除了其他解释变量对自己的影响的“结果”，将其再与被解释变量的回归就是一个“净”的效应。
可见，加入控制变量后，我们关心的估计系数是否会产生变化，取决于与控制变量之间的独立性。
我们列出将会出现的四种情形