函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x...

Question

函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x1，x2，都有f（x1）+f（x2）=f（x1x2）成立． （1）求f（-1）的值并证明y=f（x）为偶函数； （2）若f（-4）=4，记 an=(-1)n•f(2n) &(n∈N，n≥1)，求数列{an}的前2009项的和S2009； （3）（理） 若x＞1时，f（x）＜0，且不等式f(x2+y2)≤f(xy)+f(a)对任意正实数x，y恒成立，求非零实数a的取值范围． （4）（文） 若x＞1时，f（x）＜0，解关于x的不等式 f（x-3）≥0．

Answer 1

解：（1）赋值得f（1）=f（-1）=0，…（2分）
∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴函数为偶函数 …（4分）
（2）f（-4）=4得f（2）=2，f（2n）=f（2n-1）+f（2）
∴f（2n）=2n…（8分）
∴an=2•（-1）nn，
∴S2009=-2010…（10分）
（3）设 0＜x＜1，则1x＞1，0=f(1)=f(x)+f(1x)，得f（x）＞0（0＜x＜1）…（14分）
（理）f(x2+y2)≤f(xy)+f(a)得f(x2+y2axy)≤0⇔x2+y2|a|xy≥1|a|≤x2+y2xy恒成立，
又x2+y2xy≥2，从而0＜|a|≤2…（18分）
（4）（文）f（x-3）≥0⇔0＜|x-3|≤1⇔2≤x＜3或3＜x≤4…（18分）