（2012•黄山模拟）已知函数f(x)＝ln2(1+x)，g(x)＝x21+x．

Question

如题所述

Answer 1

解题思路：（Ⅰ），则f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，由此能求出函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程．
（Ⅱ）令函数，定义域是（-1，+∞），，设u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x 2-2x，则u'（x）=2ln（1+x）-2x，令v（x）=2ln（1+x）-2x，则，由此能够证明．（Ⅲ）由题意可知不等式 对任意的n∈N *都成立，且不等式等价于不等式，由此能求出a的最大值．

（Ⅰ）f′(x)＝
2ln(1+x)
1+x，g′(x)＝
x2+2x
(1+x)2，
则f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，
所以函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程都是y=0…（3分）
（Ⅱ）令函数h(x)＝ln2(1+x)−
x2
1+x，定义域是（-1，+∞），h′(x)＝
2ln(1+x)
1+x−
x2+2x
(1+x)2＝
2(1+x)ln(1+x)−x2−2x
(1+x)2，
设u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x，
则u'（x）=2ln（1+x）-2x，
令v（x）=2ln（1+x）-2x，则v′(x)＝
2
1+x−2＝
−2x
1+x，
当-1＜x＜0时，v'（x）＞0，v（x）在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，v'（x）＜0，v（x）在（0，+∞）上为减函数．
所以v（x）在x=0处取得极大值，且就是最大值，而v（0）=0，
所以u'（x）≤0，函数u（x）在（-1，+∞）上为减函数…（5分）
于是当-1＜x＜0时，u（x）＞u（0）=0，当x＞0时，u（x）＜u（0）=0，
所以，当-1＜x＜0时，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上为增函数．
当x＞0时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上为减函数．
故h（x）在x=0处取得极大值，且就是最大值，而h（0）=0，
所以h（x）≤0，
即ln2(1+x)−
x2
1+x≤0，ln2(1+x)≤
x2
1+x…（8分）
（Ⅲ）由题意可知不等式 (1+
1
n)n+a≤e对任意的n∈N*都成立，
且不等式(1+
1
n)n+a≤e等价于不等式(n+a)ln(1+
1
n)≤1，
由1+
1
n＞1知，a≤
1
ln(1+
1
n)−n，设F(x)＝
1
ln(1+x)−
1
x，x∈(0，1]，
则F′(x)＝−
1
(1+x)ln2(1+x)+
1
x2＝
(1+x)ln

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查不等式的证明，考查实数的最大值的求法．考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．