已知平面方程怎么求法向量

Question

如题所述

Answer 1

1. 给定平面的方程已转换为一般形式Ax + By + Cz + D = 0。
2. 平面的法向量由此方程的系数确定，即法向量为(A, B, C)。
3. 为了证明这一点，考虑平面上的任意两点P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)。
4. 这两点满足平面方程，即Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0和Ax2 + By2 + Cz2 + D = 0。
5. 因此，线段PQ的向量(Δx, Δy, Δz)与平面法向量(A, B, C)垂直，因为A(x2 - x1) + B(y2 - y1) + C(z2 - z1) = 0。
6. 由于向量PQ与法向量垂直，所有平面上的直线都垂直于该法向量。
7. 因此，任何通过平面上的点的直线都与法向量(A, B, C)垂直，这表明(A, B, C)是该平面的法向量。
8. 如果一个非零向量n与平面垂直，则该向量n被称为该平面的法向量。
9. 平面上的每一点都可以作为起点画出垂直于平面的法线。
10. 尽管每个平面都有无数个可能的法向量，但它们都具有相同的垂直性质。
扩展内容：
11. 在某些情况下，曲面可能没有切平面，这意味着在这些点上不存在法线。
12. 例如，圆锥的顶点和底面边缘处的点就没有法线，但在其他大多数点上，法线是存在的。
13. 任何三元一次方程的图形都是一个平面，其中方程的系数(A, B, C)就是该平面的一个法向量的坐标。
14. 两个平面垂直的条件是它们的法向量的点积为零，即A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0。
15. 两个平面平行或重合的条件是它们的法向量成比例，即A1/A2 = B1/B2 = C1/C2。
16. 点(x0, y0, z0)到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离可以通过公式abs(Ax0 + By0 + Cz0 + D) / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)计算得出。
参考资料：
- 百度百科：平面方程
- 百度百科：法向量详情