第1个回答 2022-06-12
定理：若函数f在点 连续,则f在 上有界
定理：若函数f在点 连续,且 ,则 , 使得 有
注：应用局部保号性时,常取 ,则 时 使得 有
若函数f和g在点 连续,则 , , 也都在点 连续
注：对常量函数y=c和函数y=x反复四则运算可推出多项式函数 和有理函数 在其定义域的每一点都连续,同样,由sinx和cosx在R上的连续性,可推出tanx与cotx在其定义域的每一点都连续
定理：若函数f在点 连续,g在点 连续, ,则复合函数 在点 连续
证明：
注：
例： 在 上严格单调且连续,故 在 上连续,又把 看作由 复合而成的函数,则又复合函数的连续性, 在 上连续
注：若 ,则 是其定义区间上的连续函数
例：证明：有理幂函数 在其定义区间上连续
证：
定义：设f为定义在数集D上的函数,若 使得 有 ,则称f在D上有最大(最小)值,并称 为f在D上的最大(最小)值
注：函数f在其定义域D上不一定有最大值或最小值(即使f在D上有界)
引理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有界
证明：
定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有最大值与最小值
证明：
定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号( ),则 使得 ,即方程 在(a,b)上有一个根
定理：设函数f在闭区间[a,b]上连续,且 ,若 介于f(a)与f(b),则 使得
注：若f在[a,b]上连续,又不妨设 ,则f在[a,b]上必能取得区间[f(a),f(b)]上的一切值,即
证明：
例：证明：若 则 使得
证：
例：设f在[a,b]上连续,满足 ,证明： 使得
证：
若f在区间I上连续且不是常量函数,则值域f(I)也是一个区间,若I为闭区间[a,b],f在[a,b]上的最大值为M,最小值为m,则f([a,b])=[m,M],若f为[a,b]上的增(减)函数且不为常数,则
定理：若函数f在[a,b]上严格单调并连续,则反函数 在其定义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续
证明：
定义：设f为定义在区间I上的函数,若 使 时有 ,则称f在区间I上一致连续
例：证明函数 在(0,1)上不一致连续
证：
例：函数f定义在区间I上,证明f在I上一致连续的充要条件为 ,若 ,则
证：
$取\delta_n={1\over n},\exists x'_n,x''_n\in I,|x'_n-x''_n|\lt {1\over n},有|f(x'_n)-f(x''_n)|\ge \varepsilon_0
例：证明 在区间(0,1)上不一致连续
证：
f在区间I上连续： 时有
注： 的取值依赖于
f的一个局部性质
f在区间I上一致连续
注： 只依赖于
f的一个整体性质
定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上一致连续
证明：
例：设区间 的右端点为 ,区间 的左端点也为 ( 可分别为有限或无限区间),证明：若f分别在 与 上一致连续,则f在 上也一致连续
证：