设A是n阶实对称幂等矩阵,即A²=A.（1）证明：存在正交矩阵Q,使得...

Question

设A是n阶实对称幂等矩阵,即A²=A. （1）证明：存在正交矩阵Q,使得(Q-1)AQ=diag（1,1,……,1,0,……,0） （2）若A的秩为r,计算det（A-2I）.

Answer 1

（1）A是n阶实对称幂等矩阵,故A的特征值只能是0和1
故存在正交矩阵Q,使得(Q-1)AQ=diag（1,1,……,1,0,……,0）
（2）设特征值1是r重,0是n-r重,
则矩阵A-2I有r重特征值1-2=-1,n-r重特征值0-2=-2
所以det(A-2I)=(-1)^n*2^(n-r)