微分中值定理证明题

Question

微分中值定理证明题目,
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1/3,证明∃ξ∈(0,1/2) η∈(1/2,1)使得
f'(ξ)+f'(η)=ξ^2+η^2

Answer 1

考虑函数 g(x)=f(x)-x*x*x/3,易知g(1)=g(0)=0
由拉格朗日中值定理知分别存在ξ,η
使g'(ξ)=[g(1/2)-g(0)]*2
g'(η)=[g(1)-g(1/2)]*2
两式相加即题目中的结论