如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中点，AD⊥BM于E，交BC于D点．（1）求证：BD=2CD；（

Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中点，AD⊥BM于E，交BC于D点．（1）求证：BD=2CD；（2）若AM=1nAC，其他条件不变，猜想BD与CD的倍数关系，并证明你的结论．

Answer 1

解答：解：①作CG⊥AD交AD的延长线于G，证△ABE≌△CAG．
∴AE=CG，易证△ABM∽△EBA，则EB：AE=AB：AM=2：1，
∴△EBD∽△GCD，
∴BD：DC=EB：CG=EB：AE=2：1，
∴BD=2CD．

②作CG⊥AD交AD的延长线于G，易证△ABE≌△CAG，
∴AE=CG，设等腰直角三角形ABC的边AB=AC=2a，则AM=MC=a．
在Rt△ABM中，根据勾股定理得到BM=

5

a，AE=CG=

AB?AM

BM

=

2 5

5

a，
∵BM⊥AD，CG⊥AD，
∴△AEM∽△AGC．
∴

EM

CG

=

AM

AC

=

1

n

，则EM=

1

n

?CG=

1

n

?

2 5

5

a，
∴BE=BM-EM=

5

a-

1

n

?

2 5

5

a=

5n?2

5n

5

a，
∴

BD

DC

=

BE

GC

=

5n?2

2n

．