初中数学几何难题矩形ABCD,E为CD上一点,F为BC上一点,△CEF的面积为3...

Question

初中数学几何难题 矩形ABCD,E为CD上一点,F为BC上一点,△CEF的面积为3,△ABF的面积为4,△ADE的面积为5,求：△AEF的面积（需要解答过程,好的再加100分）

Answer 1

这个问题可以这样来想.
1)
你要求的面积实际上是矩形面积减去△CEF,△ABF和△ADE面积后所剩的面积.因此,我们要先求出矩形总面积
2)
矩形总面积
S
=
AD
x
AB
3)
根据题意,有
△ADE
面积
=
(AD
x
DE)/2
=
5
△ABF
面积
=
(AB
x
BF)/2
=
4
△CEF
面积
=
(FC
x
EC)/2
=
3
4)
由
3)
S
=
AD
x
AB
=
(10/DE)
x
(8/BF)
=
80
/
(DE
x
BF)
5)
现在,我们从E点出发画一条平行於BC并与AB交於G点的线段,从F点出发画一条平行於AB并与AD交於H点的线段,EG与FH交於P点.这样,整个矩形就分割成三个小矩形：ADEG,
PECF及GPFB
你可以看到,ADEG的面积就是
△ADE
面积
的两倍
PECF的面积就是
△CEF
面积
的两倍
而GPBF的面积等於AHFB的面积(△ABF
面积的两倍)减去AHPG的面积
因此,我们可以把矩形面积写成
S
=
5x2
+
3x2
+
(4x2
-
(BF
x
DE))
用上式结合
4)
S
=
80
/
(DE
x
BF)
可以得下面方程
S^2
-
24S
+
80
=
0
解得
S=4
或
S=20,显然
S=4
不是解（因为题目的三个三角形面积之和大於4),所以矩形总面积为S=20
△AEF
的面积
=
S
-
3
-
4
-
5
=
8