当x趋近于0时,所有指数函数趋近于1,所有对数函数都趋近于负无穷或正无穷,所有幂函数都趋近于0。
解析(规律):
1、指数函数:
一般地,函数(a为常数且以a>0,a≠1)叫做指数函数,函数的定义域是R。 对于一切指数函数来讲,值域为(0, +∞)。指数函数中
前面的系数为1。
所以当x趋近于0时,所有指数函数趋近于1。
2、对数函数:
一般地,函数y=log(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),即x>0。值域为(-∞,+∞)。
所以当x趋近于0时,所有对数函数都趋近于负无穷或正无穷。
3、幂函数
幂函数的一般形式是,其中,a可为任何常数,但中学阶段仅研究a为有理数的情形(a为无理数时取其近似的有理数),这时可表示为
,其中m,n,k∈N*,且m,n互质。特别,当n=1时为整数指数幂。
所以当x趋近于0时,所有幂函数都趋近于0。
扩展资料:
一、对数函数的其他性质
1、定点:
对数函数的函数图像恒过定点(1,0)
2、单调性:
(1)a>1时,在定义域上为单调增函数。
(2)0<a<1时,在定义域上为单调减函数。
3、奇偶性:
非奇非偶函数。
4、周期性:
不是周期函数。
5、零点:
x=1注意:负数和0没有对数。
二、指数函数的其他性质
1、函数图形都是上凹的。函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
2、单调性:
(1)a>1时,则指数函数单调递增。
(2)若0<a<1,则指数函数单调递减。
3、定点:
函数总是通过(0,1)这点(若y=a*+b,则函数定过点{0,1+b)}
4、奇偶性:
指数函数是非奇非偶函数
5、反函数
指数函数具有反函数,其反函数是对数函数,它是一个多值函数。
三、幂函数的的其他性质
1、奇偶性:
(1)当m,n都为奇数,k为偶数时,定义域、值域均为R,为奇函数。
(2)当m,n都为奇数,k为奇数时,定义域、值域均为{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),为奇函数。
(3)当m为奇数,n为偶数,k为偶数时,定义域、值域均为[0,+∞),为非奇非偶函数。
(4)当m为奇数,n为偶数,k为奇数时,定义域、值均为(0,+∞),为非奇非偶函数。
(5)当m为偶数,n为奇数,k为偶数时,定义域为R、值域为[0,+∞),为偶函数。
(6)当m为偶数,n为奇数,k为奇数时,定义域为{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(0,+∞),为偶函数。
2、正值性质
(1)图像都经过点(1,1),(0,0)。
(2)函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数。
(3)在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大;α=1时,导数为常数;0<α<1时,导数值逐渐减小,趋近于0。
3、负值性质
(1)图像都通过点(1,1)。
(2)图像在区间(0,+∞)上是减函数;(内容补充:若为X-2,易得到其为偶函数。利用对称性,对称轴是y轴,可得其图像在区间(-∞,0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)。
(3)在第一象限内,有两条渐近线(即坐标轴),自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0。
4、零值性质
参考资料来源:百度百科-对数函数
参考资料来源:百度百科-指数函数
参考资料来源:百度百科-幂函数
指数函数、对数函数、幂函数的图像规律
指数函数、对数函数、幂函数的图像规律可以通过它们的性质和特点来理解。
指数函数的图像通常是一条向上开口的曲线,表示为y=axy=a^xy=ax(a>0,a≠1a>0, a\neq1a>0,a=1)。其性质包括在y轴上的截距为1,改变指数会改变函数的斜率,即函数图像会发生平移;改变函数的系数会改变函数的尺度,即函数图像会发生伸缩。指数函数的图像和性质表明,当底数a>1a>1a>1时,函数是增函数;当0<a<10<a<10<a<1时,函数是减函数1。
对数函数的图像通常是一条向右开口的曲线,表示为y=loga(x)y=\log_a(x)y=loga(x)(a>0,a≠1a>0, a\neq1a>0,a=1)。对数函数的性质包括在y轴上的截距为0,改变对数函数的底数会改变函数的斜率,即函数图像会发生平移;改变函数的系数会改变函数的尺度,即函数图像会发生伸缩。对数函数的图像和性质表明,当底数a>1a>1a>1时,函数是增函数;当0<a<10<a<10<a<1时,函数是减函数1。
幂函数的图像可以是一条向上开口的曲线,也可以是一条向右开口的曲线,通常表示为y=xny=x^ny=xn(nnn为常数)。幂函数的性质包括当n>0n>0n>0时,幂函数的图像是一条向上开口的曲线;当n<0n<0n<0时,幂函数的图像是一条向右开口的曲线;当n=0n=0n=0时,幂函数的图像是一条水平直线。幂函数的图像在y轴上的截距为1。改变幂函数的指数会改变函数的斜率,即函数图像会发生平移;改变函数的系数会改变函数的尺度,即函数图像会发生伸缩1。
综上所述,这三种函数的图像规律和性质可以通过调整底数、指数和系数来控制,从而影响图像的位置、形状和尺度。理解这些性质有助于更好地掌握和应用这些数学工具
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