（两个结论，还有一个在问题补充中）内切球球心在几何体各面上的射影与各面的重心重合，即O‘≡G

Question

（两个结论，还有一个在问题补充中）内切球球心在几何体各面上的射影与各面的重心重合，即O‘≡G几何体外接球的球心在各面上的射影与各面的外心重合，即O'≡O"
这两个结论如何证明，谢谢，不用怀疑正误，这是来自百度百科的，但是没给证明

Answer 1

外接的很好理解：假设该几何体各个面都是三角形，则每个三角形都必有一个外接圆，该外接圆的圆心必是外接球的一个小圆或大圆。
对一个球体，它的任意一个小圆上的所有点都在球体表面，到球心的距离都相等，都是球体半径R。设球心O到小圆平面的垂线之垂足为H，OH长度为h，则根据勾股定理可以得到：小圆上任意一点到点H的距离都相等，即，点H一定是小圆之圆心。
即，球体的球心与该球体内任意一小圆之圆心的连线必与小圆所在平面垂直。
所以，几何体的外接球的球心与几何体各表面的外接圆之圆心的连线必与该面垂直。追问

其实主要是内切，请问内切知道吗，谢谢

追答

内切那个可能不正确。

我们知道任意三棱锥都有内切球，

如图，假设四三棱锥ABCD有内切球，球心O在平面ABD及平面ABC内的投影分别为O1、O2，

依你给出的结论，O1、O2分别为三角形ABD及三角形ABC的重心，

取AB的中点E，则O1必在AE上，O2必在CE上，连接OE，

因OO1与平面ABD垂直，故，OO1与AE垂直，同理，OO2与CE垂直，

所以直角三角形OO1E与直角三角形OO2E全等，所以，O1E＝O2E

又由三角形重心的性质有：O1E＝DE/3，且，O2E＝CE/3，所以，DE＝CE，

故四面体ABCD是一个特殊的四面体，这与我们假设的它是一个普通四面体不相符。

所以，O1、O2分别为ABD及ABC的重心这个假设并不正确。

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