已知二次函数f（x）的二次系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为{x|1＜x...

Question

已知二次函数f（x）的二次系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}． （1）若函数y=f（x）+6a有且只有一个零点，求f（x）的解析式； （2）记f（x）的最大值为h（a），求h（a）的最小值．

Answer 1

解：（1）由f（x）+2x＞0的解集为{x|1＜x＜3}知：
f（x）+2x=a（x-1）（x-3）（a＜0）．
则f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a①
又因为y=f（x）+6a有且只有一个零点，
即方程ax2-（2+4a）x+9a=0有两个相等的实根，
于是△=[-（2+4a）]2-4a×9a=0，
即5a2-4a-1=0，
解得a=-15或a=1（舍），
将a=-15代入①式，得f(x)=-15x2-65x-35．
（2）由①及a＜0知，f（x）的最大值h(a)=-a2+4a+1a=-a-1a-4．
又因为-a＞0，由对勾函数的性质，
得h(a)=-a-1a-4≥2-4=-2，当且仅当a=-1时，等号成立．
故h（a）的最小值为-2．