第1个回答 2023-01-23
临界 极值问题
相遇追击问题
低难题、汽车正在以 10m/s的速度在平直的公路上前进，在它的正前方x 处有一辆自行车以4m/s的速度
2
做同方向的运动，汽车立即关闭油门做a = - 6m/s的匀变速运动，若汽车恰好碰不上自行车，则x 的大小为（ ）C A ．9.67m B ．3.33m C．3m D ．7m
低难题：一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以v ＝8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为
2
时，决定前去追赶，经2.5s ，警车发动起来，以加速度a ＝2m/s做匀加速运动，试问： (1)警车要经多长时间才能追上违章的货车？ 10s
(2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少？ 36m
画多个矢量三角形求极值
低难题、轻质细杆两端固定着质量均为m 的A 、B 两小球，用两根不可伸长的轻质细线（两细线与细杆均等长）系住两球并悬挂于O 点。现对B 球施加一拉力F ，使OA 保持竖直方向，如图所示。则拉力F 的最小值是（ ）B
A 、
1
mg 2
B 、
m g 2
C 、mg D 、mg
牛顿运动定律中的临界极值问题
低难题、如图所示，物块m 与车厢M 的后壁间的动摩擦因数为μ，当该车在水平外力作用F 作用下向右做加速运动时，物块m 恰好沿车厢后壁匀速下滑。设水平地面光滑，则水平外力F 的大小为( ) C
A ．（M+m）g B ．（M+m）μg
g
C ．（M+m）
μ1
D M+m）μg 2
低难题、如图所示，细线的一端固定于倾角为45°、质量为M 的光滑斜面A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球．现用一水平恒力F 向右推斜面，此时小球和斜面保持相对静止、且细线对小球的拉力刚好为零，则F 的大小为(g 为重力加速度)( )B
A ． mg
F
m B ．(M+m)g
M 2m g
D. 2(M+m)g
低难题、如图所示，一质量为m 1的半圆形槽内壁光滑，放在光滑水平面上，槽中放一个质量为m 2的小球。现用一个水平外力F 推槽，系统稳定后小球距槽底的高度为圆形槽半径的一半，则F 的大小为（ ）
C
A 、(m 1+m 2) g
B 、2(m 1+m 2) g C 、(m 1+m 2) g
D 、2(m 1+m 2) g
低难题、如图，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上。A ，B 质量分别为m A =6kg，m B =2kg，A ，B 之间的动摩擦因数μ=0.2，开始时F=10N，此后逐渐增加，在增大到45N 的过程中，则（ ）D A ．当拉力F ＜12N 时，两物体均保持静止状态
B ．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12N 时，开始相对滑动 C ．两物体间从受力开始就有相对运动 D ．两物体间始终没有相对运动
曲线运动中的临界极值问题
低难题、如右图所示，一条小船位于200 m 宽的河正中A 点处，从这里向下游1003 m处有一危险区，当时水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是( ) C
4383A 、 m/s B 、 33C 、 2 m/s D 、 4 m/s
低难题、一阶梯如右图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v 飞出，欲打在第四台阶上，则v 的取值范围是( ) A
A 、 m/s
D 、 2m/s
低难题、如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m 的小物体A 、B 。AB 间用细线沿半径方向相连，它们到转轴OO ′的距离分别为RA ＝20cm ，RB ＝30cm.A 、B 与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍。缓慢增加圆盘转动的角速度，当A 刚开始滑动时，圆盘的角速度ω为（ ）C
A 、2rad/s B 、3rad/s C 、4rad/s D 、5rad/s 低难题、（14安徽）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面
3
上离转轴距离2.5 m(设最大静
2
2
摩擦力等于滑动摩擦力) ，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s. 则ω的最大值是( )C
A 5 rad/s
B 3 rad/s
C 、1 rad/s D 、0.5 rad/s
万有引力中的临界极值问题
简单题、某球状行星具有均匀的质量密度ρ，当行星自转周期为下列哪个值时，其赤道上的物体将要飞离球面
( ) A
A.
3πG 4πG 3 B. C. D.
43ρG ρG
简单题、（11福建）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可
视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T ，已知引力常数G ，半径为R 的球体体积公式
V =
43
πR ，则可估算月球的（ ）A 3
A ．密度 B．质量 C．半径 D．自转周期
机械能中的临界极值问题
简单题、如图，飞行员进行素质训练时，抓住水平秋千绳由静止状态往下摆，则飞行员到达竖直状态的过程中，飞行员重力的瞬时功率变化情况是（ ）C
A. 一直增大 B. 一直减小
C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
低难题：在光滑的水平地面上静置一个质量为M 倾角为θ的斜劈，在斜劈上有一个质量为m 的光滑物块，现用水平推力推动斜劈水平向右运动，并使物块与斜劈始终保持相对静止，如右图所示，下列叙述中正确的是（ ）BD
1
(M +m ) gt 2·tan θ
2
122
B ．在斜劈起动t 秒内，斜劈对物块的弹力所做的功是mg t ·tan 2θ
2
·tan θ C ．在斜劈起动t 秒内，斜劈对物块的弹力与物块所受重力的合力所做功的平均功率是mgt 2
D ．在斜劈起动t 秒末，合力对斜劈的瞬时功率为Mg 2·t tan 2θ
A ．在斜劈起动t 秒内，推力F 对斜劈做的功是
低难题、长度为L 的线，一端固定于O点，另一端拴一小球，先将线拉直呈水平，使小球位于P点，如图所示。然后释放小球，当小球下行到最低点时，悬线遇到在O点正下方的水平地固定着的钉子K，不计任何阻力，若要小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，则K点与O点之间的距离可能为（
）A A ．
4L 5L B ．
2L C ．
3L D ．
4
低难题：如图所示, 在竖直平面内固定着光滑的1/4圆弧槽, 它的末端水平, 上端离地高H, 一个小球从上端无初速滚下. 若小球的水平射程有最大值, 则圆弧槽的半径是多少？.
静电场 的临界极值问题
简单题：如图所示, 在光滑绝缘的水平面上沿一直线等距离排列三个小球A 、B 、C, 三球质量均为m, 相距均为L. 若小球均带电, 且q A =+10q,qB =+q,为保证三球间距不发生变化, 将一水平向右的恒力F 作用于C 球, 使三者一起向右匀加速运动. 求: (1)F的大小.
(2)C球的电性和电荷量.
答案 (1)70kq (2)负电 40q
L 2
3
2
低难题：如图所示，带电平行金属板A 、B ，板间的电势差为U ，A 板带正电，B 板中央有一小孔。一带电的微粒，带电荷量为q , 质量为m ，自孔的正上方距板高h 处自由落下，若微粒恰能落至A 、B 板的正中央C 点，则( )BCD
A. 微粒在下落过程中动能逐渐增加，重力势能逐渐减小
B. 微粒下落过程中重力做功为mg (h +
d
) ，电场力做功为-qU /2 2
C. 微粒落入电场中，电势能逐渐增大，其增加量为qU /2 D. 若微粒从距B 板高2h 处自由下落，则恰好能达到A 板
低难题：如图所示，电路中电源电动势为E ，内阻不计，水平放置的平行金属板A 、B 间的距离为d ，板长为L ，在A 板的左端且非常靠近极板A 的位置，有一质量为m 、电荷量为－q 的小液滴以初速度v 0水平向右射入两板间．(重力加速度用g 表示) 则：
(1)若使液滴恰能沿v 0方向射出电场，电动势E 1应为多大？
(2)若使液滴恰能从B 板右端边缘射出电场，电动势E 2应为多大？
【解析】 (1)I ＝
E 1
R ＋R 2R
E
1
则U AB ＝IR ＝E 1①
2
qU AB
② d
联立①②得E 1＝2mgd /q
由液滴受力平衡mg
(2)由于液滴能从B 板右端边缘飞出，利用平抛运动规律有： L ＝v 0t
1y ＝d ＝2
2
qU ′AB /d －mg ＝ma
1
同理U ′AB ＝E 2
2
2
2md 2dv 0
由以上各式得E 2＝(2g )
q L
带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
低难题、在一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B ，其横截面如右图，磁场边界为同心圆，内、外半径分别为r 和2＋1) r . 圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射出质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，不计粒子重力．为使这些粒子不射出磁场外边界，粒子从圆心处射出时速度不能超过( )A
qBr
m 2qBr
m
C. D.
2+1qBr
m 2-1qBr
m
)
)
低难题、如图所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S 。某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），
所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场。已知∠AOC=60从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于场中运动的时间不可能为( )A ．．．
A ．T/8 B ．T/6 C ．T/4 D ．T/3
低难题：如图所示，有一垂直于纸面向外的磁感应强度为B 的有界匀强磁场（边界上有磁场），其边界为一边长为L 的三角形，A 、B 、C 为三角形的顶点。今有一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子（不计重力），以
3qBL
速度v ＝从AB 边上某点P 既垂直于AB 边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC 边上某点Q 射出。
4m
若从P 点射入的该粒子能从Q 点射出，则（ ）AD
23
A ．|PB |≤L
4
13
B ．|PB |≤L
4
T
( T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC 射出的粒子在磁2
3 41
D ．|QB |≤L
2C ．|QB |≤
简单题：一带电量为＋q 、质量为m 的小球从倾角为θ的光滑的斜面上由静止开始下滑。斜面处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向如图所示。求： （1）小球在斜面上滑行时的速度的最大值 （2）小球在斜面上滑行的时间 （3）小球在斜面上滑行的位移 （ s＝v 2/2a＝m 2gcos 2θ/(2B2q 2sin θ) ）
低难题：如图，在边界PQ 的左侧空间存在一个足够宽广的电场强度为E ，方向向右的匀强电场区域. 电场的右侧有两个足够长的条形匀强磁场区域1和区域2，磁场感应强度均为B ，方向垂直纸面向里. 条形匀强磁场的宽度为a ，两磁场区域的间距也为a ，PQ 是电场与磁场区域1的分界线，MN 是区域2的右侧边界．现将质量为m 、电量为q 的带正电的粒子从电场中某处自由释放，粒子经过磁场区域1和区域2后能再次回到电场中，已知粒子在磁场中运动的半径为2a （粒子重力忽略不计），求： （1）粒子释放处距离PQ 的距离d
（2）粒子从释放开始到再次回到电场的过程中，在磁场区域1和区域2中运动的时间之比t 1∶t 2 （3）欲使粒子经过区域2又不会越过边界MN ，粒子释放处的距离d 需要满足的条件
解：（1）由动能定理：qEd =
mv
又：R ==2a （2分）
qB 2qB 2a 2
所以d =（2分）
mE
12mv ，（2分） 2
（2）带电粒子运动轨迹如图所示，因为轨迹半径为2a ，所以，在磁场区域1中圆弧所对应的圆心角为
30°，在区域2中圆弧所对应的圆心角为120°，
30°+30°1
T =T （2分）
360°6120°1t 2=T =T （2分）
360°3
所以，t 1:t 2=1:2（
1分） t 1=
（3）要到达区域2，则运动半径R >a （1分）
2a （1分） 要不会越过边界MN ，则运动半径R ≤ 2a （1分） 综上，a
qB 2a 22qB 2a 2
低难题：如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a 、b 、c 和d ，外筒的外半径为r ，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B 。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为＋q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a 的S 点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S ，则：（不计重力，整个装置在真空中） (1)两电极之间的电压U 应是多少？
(2)如果在圆筒之外的磁场的外边界为圆，则磁场的最小面积为多少？
22B qr
U =
2m
电磁感应的临界极值问题
低难题、如图所示，一足够长的“n”形导体框架，宽度为L ，其所在平面与水平面垂直，电阻可以忽略不计．设匀强磁场与导体框架的平面垂直，磁感应强度为B ．有一根导体棒ab 跨放在框架上，由静止释放导体棒沿框架竖直滑下，且始终保持水平，它与框架间摩擦力为f ，如图所示，导体棒质量为m ，有效电阻R ，则ab 中感应电流的方向是（ ）B
A. a →b B. b →a C. 不存在 D. 无法确定 ab 下滑过程中，加速度大小的变化是（ ）B
A ．由小变大 B ．由大变小 C ．时大时小 D．不变 ab 下滑的最大速度等于（ ）A
b
(mg -f ) R mgR (mg +f ) R fR A. B. C. D.
B 2L 2B 2L 2B 2L 2B 2L 2
ab 以最大速度下滑时消耗的电功率等于（ ）A
(m g -f ) 2R m 2g 2R (mg +f ) 2R f 2R
A. B. C. D. 22
222222
B L B L B L B L
低难题、竖直平面内有一形状为抛物线的光滑曲面轨道，如图，抛物线方程是y ＝x ，轨道下半部分处在一个水平向外的匀强磁场中，磁场的上边界是y ＝a 的直线(图中虚线所示) ，一个小金属环从抛物线上y ＝b (b >a ) 处以速度v 沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，金属环沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是( )D
A ．mgb 12B 2
C ．mg (b －a )
12
D ．mg (b －a )
2
低难题：（11上海）电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=1.15m，两导轨间距L =0.75 m ，导轨倾角为30°，导轨上端ab 接一阻值R=1.5Ω的电阻，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场垂直轨道平面向上。阻值r=0.5Ω，质量m=0.2kg的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab 处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热Q r =0.1J 。(取g =10m /s 2) 求： (1)金属棒在此过程中克服安培力的功W 安 (2)金属棒下滑速度v =2m /s 时的加速度a
(3)为求金属棒下滑的最大速度v m ，有同学解答如下：由动能定理W 重-W 安=
2
1
mv m 2，„„。由此所得2
结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答
（1）下滑过程中安培力的功即为在电阻上产生的焦耳热，由于R =3r ，因此
b
Q R =3Q r =0.3(J ) （1分）
∴W 安=Q =Q R +Q r =0.4(J ) （2）金属棒下滑时受重力和安培力
（2分）
B 2L 2
F 安=BIL =v （1分）
R +r B 2L 2
v =ma （3分） 由牛顿第二定律mg sin 30-
R +r
B 2L 210.82⨯0.752⨯2
∴a =g sin30-v =10⨯-=3.2(m /s 2) （2分）
m (R +r ) 20.2⨯(1.5+0.5)
(3)此解法正确。 (1分)
金属棒下滑时舞重力和安培力作用，其运动满足
B 2L 2
mg sin 30-v =ma
R +r
上式表明，加速度随速度增加而减小，棒作加速度减小的加速运动。无论最终是否达到匀速，当棒到达斜面底端时速度一定为最大。由动能定理可以得到棒的末速度，因此上述解法正确。
(2分
)
mgS sin 30-Q =
∴v m =
1
mv m 2 （1分） 2
==2.74(m /s ) （1分）
交流电的临界极值问题
低难题：如图所示,R 1为定值电阻，R 2为可变电阻，E 为电源电动势，r 为电源的内电阻，则以下说法正确的是（ ）AC
A ．当R 2=R1+r时，R 2上获得的功率最大 B ．当R 1=R2+r时，R 1上获得的功率最大 C ．当R 2=0时，R 1上获得的功率最大 D ．当R 2=0时，电源的输出功率最大
低难题、如图所示，已知交变电源的电动势的有效值为100V ，内电阻为r =4Ω，通过一理想变压器给电阻为R 1=100Ω负载供电，则负载R 1上获得的最大功率和变压器原副线圈的匝数比分别为（ ）B
A 、625W 5︰1 B 、625W 1︰5
R 1
C 、62500W 1︰25 D 、100W 1︰25 压轴题、心电图一是将心肌收缩产生的脉动转化为电压脉冲的仪器，其输出部分可用一个与大电阻（40 k Ω）相连的交流电源来等效，如图所示。心电图仪与一理想变压器的初级线圈相连，以扬声器（可以等效为阻值为8Ω的电阻）与该变压器的次级线圈相连。在等效电源的电压有效值V 0不变的情况下，为使扬声器获得最大功率，变压器的初级线圈和次级线圈的匝数比约为（ ）C A 、1 ：5000
B 、1 ：70
8Ω
C 、70 ：1 D 、5000 ：1
心电图仪 变压器
热学的临界极值问题
简单题、甲、乙两个分子，若固定甲分子，使乙分子从很远处逐渐靠近甲分子，直到不能再靠近的整个过
程中分子势能的变化情况是（ ）D
A. 不断增大 B.不断减小 C.先增大，后减小 D.先减小，后增大
动量守恒定律的临界极值问题
简单题：两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L ，导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路，如图所示，两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 0, 若两导体棒在运动中始终不接触，求：
（1）在运动中产生的焦耳热量最多是多少？ （
12
mv 0） 4
3F B 2l 2v 0
（2）当ab 棒的速度变为初速度的时，cd 棒的加速度是多少？（a =） =
4m 4mR
（3）在运动中通过棒cd 的电量最多是多少？ （m/2BL）
低难题：如图5-15所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和他的冰车总质量共为30kg ，乙和他的冰车总质量也是30kg 。游戏时，甲推着一个质量为15kg 的箱子和他一起以2m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住。若不计冰面摩擦，求甲至少以多大速度（相对地）将箱子推出，才能避免与乙相撞？ （5.2m/s）
低难题：如图所示，质量均为M 的木块A 和B ，并排放在光滑水平面上，A 上固定一竖直轻杆，轻杆上端的小钉(质量不计) O 上系一长度为L 的细线，细线另一端系一质量为m 的球C ，现将C 球拉起使细线水平伸直，并由静止释放C 球(C 球不与直杆相碰) ．求： (1)两木块刚分离时，A 、B 、C 的速度各多大？
(2)两木块分离后，小球偏离竖直方向的最大偏角θ的余弦值cos θ
【解析】(1)小球C 下落到最低点时，AB 开始分离，此过程水平方向动量守恒．根据机械能守恒：
2
mgL ＝mv 2C ＋Mv AB
1
212
mv C ＝2Mv AB ，v C ＝2
MgL
2M ＋m
m v AB M M . 2M ＋m
(2)选A 、C 为研究对象，有mv c －Mv AB ＝(m ＋M ) v ′ 机械能守恒，有
12121mv c ＋AB ＝(m ＋M ) v ′2＋mgL (1－cos θ) 222
解得cos θ2 M ＋m
低难题：如图所示，质量为M ＝1.0kg 的长木板B 在光滑的水平面上以速度v 0＝3.2m/s向右做匀速直线运动．某时刻，将一质量为m ＝3.0kg 的小金属块A 放在长木板上，距离木板左端d ＝0.64m 处．此时可认为A 的速度为0，小金属块刚好不会从木板上滑出．g ＝10m/s2．求：
(1)小金属块最后能达到多大的速度?
(2)小金属块在木板上滑动的过程中产生的焦耳热?
(3)A 、B 之间的动摩擦因数μ．
(1)0.8m/s (2)3.84J (3)0.2
低难题：如图所示，质量为M 的小车A 右端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m 的小物块B 从左端以速度v 0冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车左端时刚好与车保持相对静止．求整个过程中弹簧的最大弹性势能E P 和B 相对于车向右运动过程中系统摩擦生热Q 各是多少？
2mMv 012122Q =mv 0-(m +M ) v ，E P =Q= 224(m +M ) m
11