第1个回答 2022-06-22
在遥远的北方
有一处叫斯维斯约德的地方
那里矗立着一块巨石
高一百英里、宽一百英里、长一百英里
每隔一千年
便有一只小鸟飞来
在这巨石上磨喙
当石头被磨光的时候
对“永恒”来说
才似过了一天
简短的故事讲完啦,树上掉下三个苹果:一个给房龙,一个给讲故事的人,一个给听故事的人。
·故事中的“永恒”,相及于数学中的一个名词:无穷。
·无穷(infinite),或称无限。意指没有尽头、没有边界。
·无穷的数学符号为∞ —— 形似一条莫比乌斯带。
·无穷这个概念比德国数学家莫比乌斯这个名字要早很多很多很多年。
·“无穷小量”的概念引起了数学史上的第二次数学危机。
·第二次数学危机的“危机”在于:无穷小量这个“量”究竟是不是0——若是0,会有问题,如:微积分中无穷小量出现在了分母,0不可做分母。若不是0,仍有问题,如:运算中忽略无穷小量,结果相当于取近似值,丧失了绝对准确。
·柯西用极限定义无穷小量,被认为解决了第二次数学危机——无穷小量,不是一个确定的量,是变小的过程,可以想要多小就多小。
·第一次数学危机:起因是“无理数”——不能用整数或整数的商表示的数。
·第三次数学危机:起因是“悖论”——命题不再非真即假,有些命题既非真也非假。
·关于无限的一个小例:无限小数0.999…
·无限小数0.999…是这样被想象的:小数点右边有很多很多个9,很多到永远永远也写不完。
【一个小问题】怎样尝试理解:1=0.999…
【石头篇-1:无穷】怎样尝试理解:1=0.999…
- - - - - - -【想法1】- - - - - - -
假设1 ≠ 0.999…
则存在一个数:A,满足 1 > A > 0.999…
(两个不等的数之间总存在其他数,例如:两者的平均数)
发现找不到满足1 > A >0.999…的有限小数或无限小数A
则假设不成立
即1 = 0.999…
- - - - - - -【想法2】- - - - - - -
如果1÷3 = 0.333… 同时 1÷3 = 1/3
那么0.333…×3 = 1/3×3
或是0.333…+0.333…+0.333… = 1/3+1/3+1/3
即0.999… = 1
[借助于除法竖式,可以轻松得到 1÷3 = 0.333…]
[借助于除法竖式,也可以轻松得到 1÷1 = 0.999…——只需在商的首位商0,其他数位依次对应商9即可]
- - - - - - -【想法3】- - - - - - -
如果一个小数×10,则其小数点向右移动一位
那么当B = 0.999…时,10B = 9.999…,10B-B = 9.999…-0.999…
即9B = 9,B = 1
即1 = 0.999…
[小学数学中,将循环小数化为分数时,即可借助于上述方法。该法在操作上遵循:①一个小数×10,则其小数点向右移动一位。②无限小数相减,将对应数位相减即可]
[例:当C = 0.737373…时,100C = 73.737373…,100C-C = 73.737373…-0.737373…,99C = 73,C = 73/99,即循环小数0.737373… = 73/99]