第1个回答 2013-09-09
问题1 如果一个四位数与一个三位数的和是1999,并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的。那么,这样的四位数最多能有多少个? 这是北京市小学生第十五届《迎春杯》数学竞赛决赛试卷的第三大题的第4小题,也是选手们丢分最多的一道题。 得到a=1,b+e=9,(e≠0),c+f=9,d+g=9。 为了计算这样的四位数最多有多少个,由题设条件a,b,c,d,e,f,g互不相同,可知,数字b有7种选法(b≠1,8,9),c有6种选法(c≠1,8,b,e),d有4种选法(d≠1,8,b,e,c,f)。于是,依乘法原理,这样的四位数最多能有(7×6×4=)168个。 在解答完问题1以后,如果再进一步思考,不难使我们联想到下面一个问题。 问题2 有四张卡片,正反面各写有1个数字。第一张上写的是0和1,其他三张上分别写有2和3,4和5,7和8。现在任意取出其中的三张卡片,放成一排,那么一共可以组成多少个不同的三位数? 此题为北京市小学生第十四届《迎春杯》数学竞赛初赛试题。其解为: 后,十位数字b可取其他三张卡片的六种数字;最后个位数c可取剩余两张卡片的四种数字。综上所述,一共可以组成不同的三位数共(7×6×4=)168个。 在连续两年的《迎春杯》赛题中,两道计数问题的结果均为168,这难道是巧合吗? 细心的读者不难发现,只要我们对问题1稍加处理,便可成为问题2的等价形式,换句话说,问题1和2就其本质而言,只不过是同一问题的两种不同的提法而已。 下面给出问题1的等价形式: 现构造四张卡片,正反面都各写有一个数字。第一张上写的是0和9, 好正是从这四张卡片任取三张,放成一排,最多可以组成多少个不同的三位数的问题。