Source:
Dynamic Panel Data : IV and GMM Estimation with Stata (Panel)
xtabond cheat sheet
动态面板数据模型，是指通过在静态面板数据模型中引入滞后被解释变量以反映动态滞后效应的模型。这种模型的特殊性在于被解释变量的动态滞后项与随机误差组成部分中的个体效应相关，从而造成估计的内生性。
也就是说在动态面板模型允许使用过去的可观测值，考虑了过去结果对当前结果的影响。而实际上许多经济学问题本质上都是动态的，其中一些经济模型表明，当前的行为依赖于过去的行为，例如 就业模型 和 公司投资问题 。
这里就特定效应类型将模型分为两大类
因此，可以看出，对于一个动态面板数据模型来说，若使用GLS估计方法，不管是固定效应模型还是随机效应模型，它的估计都是有偏且不一致连续的。且偏误 的阶数是 ,仅当 时 。但是当 很小， 时可能会引起很大的偏误。
为了解决估计量不一致的问题，Anderson 和 Hsio (1981) 提出了 工具变量估计(IV) 。首先，我们考虑消去个体效应 ，对此，做差分得：
可以看出，等式(10)构建工具变量时比等式(8)多引入了一个滞后项，这导致缺失了一期的样本数据。这就又提出了一个问题，我们究竟是选择等式(8)还是等式(10)的估计比较好？
而矩估计(MM)法则不需要考虑这个问题，MM估计可以统一所有的估计量且消去样本容量减少的缺点。
可得等式(9)的矩条件为
同理，等式(11)的矩条件为 这两个IV估计值都在估计中附加了一个矩条件。但是，据我们所知，附加更多的矩条件则能增加估计值的效率。
据此，Arellano 和 Bond (1991) 提出可以通过开发附加矩来扩大工具的列表并且是工具的数量随着 t 变化。首先，固定T，这里考虑 T=4。
一直继续这么添加矩条件之后，有效的工具集合变为
而所有的这些矩条件可以作为 广义矩估计(GMM) 的一个框架。对于一般的样本大小 T，所有差分后的误差项可排成一个向量：
由工具变量排成的矩阵为：
矩阵 的每一行都包含了给定时段所有有效工具。因此，所有矩条件的集合可写为： 为了得到GMM估计，将等式(16)改写成
显然，矩条件的数量会增加未知参数的数量。
这里我们通过最小化由等式(17)所对应的条件表达的二次型来估计参数 ：
其中 是定义的对称正定的权重矩阵。
然后，通过对等式(18)关于 求微分并求解 得到GMM估计量：
GMM估计并不强制要求 关于个体与时间服从独立分布，但是需要注意的是，需要不存在自相关以保证矩条件有效。因此，在一个短面板（即T比较小），建议强制 不存在自相关，并结合同方差性假设。
Alvarez 和 Arellano (2003) 表示，通常，GMM估计在 的情况下仍然保持一致性。但是，对于 的情况下，GMM估计和FE估计会很接近，这给我们估计方法提供了一个更具有吸引力的选择。
Arellano和Bond ( 1991) 提出了一阶差分GMM (FD-GMM)估计方法，主要做法是用变量的水平滞后值作为其一阶差分项的工具变量。具体来说：
但是, Blundell和Bond (1998)曾指出,一阶差分GMM估计方法容易受到 弱工具变量 的影响而得到有偏的估计结果。即：
为了克服弱工具变量的影响, Arellano和Bover (1995) 以及Blundell和Bond (1998)提出了另外一种更加有效的方法,即系统GMM (SYS-GMM)估计方法。其具体做法是将水平方程和差分方程结合起来进行估计,在这种估计方法中,滞后水平作为一阶差分的工具变量,而一阶差分又作为水平变量的工具变量。具体来说：
在上述FD-GMM估计中，可以看作是应用了矩条件 ，但是却有个矩条件被忽略了，
即：
而SYS-GMM则是考虑到了这一点，利用了更多的有效信息，使得估计不受 接近1时的影响。
可以看到工具变量的数量变多。
可以看出 Arellano–Bond估计工具变量的设定的关键点在于
我们可以在 Stata 中使用 estat abond 命令来测试这些条件。
从本质上来说，一般未观测到的的差分项 应与其因变量的第二期滞后 和之后的滞后项都无关。如果不是这样，我们又回到了一开始的问题，内生性。所以我们主要关心的是有没有2阶或者更高阶的序列相关性。
下面我们用 estat bond 命令来测试我们上述的例子：
可以看到的是，我们可以拒绝一阶序列相关的原假设，但是不能拒绝2、3、4阶序列相关的原假设。所以原模型是合理的。
检验工具变量是否是与干扰项相关，也就是工具变量是否为外生变量。
原假设是：所有工具变量都是外生。
其中包含 hansen 检验和 sargan 检验，可以用 Stata 中的 xtabond2 命令实现。
例子：
基于Layard和Nickell(1986)的工作，Arellano和Bond(1991)将劳动力需求的动态模型拟合到位于英国的一个具有不平衡面板的公司上。首先，我们根据 工资(wages)、资本存量(capital stock)、行业产出(industry output)、年度假人(year dummies) 以及 一个时间趋势(a time trend )对 就业率(employment) 进行建模，其中包括就业，工资和资本存量的滞后。我们将使用 xtabond 命令
由于我们的回归模型中包含一个n的滞后， xtabond 使用滞后2期和back作为工具。外生变量的差分也可以作为工具。
这里，我们使用 xtdpdsys 来重新定义模型
比较这两个命令输出的页脚说明了这两个估计器之间的关键区别。 xtdpdsys 将n的滞后差也作为工具纳入水平方程，而 xtabond 没有。 xtdpdsys 的工具变量变多了，但是模型的标准误降低了。
这些GMM估计量的矩条件只有在特征误差不存在序列相关性的情况下才有效。由于白噪声的第一个差异必然是自相关的，我们只需要关注第二个和更高的自相关。我们可以使用 estat abond 测试自相关: