两道极难的高中数学题

Question

一、已知函数f(x)=x^2+aInx.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.Cn^0为二项式二、设f(x)是定义在R上的函数,且g(x)=Cn^0f(0/n)x^0(1-x)^n+Cn^1f(1/n)x^1(1-x)^(n-1)+Cn^2f(2/n)x^2(1-x)^(n-2)+......+Cn^nf(n/n)x^n(1-x)^0.(1)若f(x)=1,求g(x);(2)若f(x)=x,求g(x)题目的图片: 有点模糊,可以分开做,一题加10分

Answer 1

1)f(x)=x^2+alnx,
f'(x)=2x+a/x,定义域(0,无穷大)①a=-2,f'(x)=2x-2/x=2(x+1)(x-1)/x令f'(x)<=0,
0<x<=1;
令f(x)>=0,
x>=1;
令f(x)=0,
x=1∴f(x)在(0,1]上单调减,在[1,无穷大)上单调增,极值为f(1)=1②g(x)=x^2+alnx+2/x,
g'(x)=2x+a/x-2/x^2>=0在[1,无穷大)上恒成立即a>=2/x-2x^2恒成立,
令h(x)=2/x-2x^2,即求h(x)在[1,无穷大)上的最大值h'(x)=-2/x^2-2x<0,
最大值在x=1处取得h(1)=2-2=0∴a>=02)①f(x)=1,g(x)=C(n)(0)x^0(1-x)^n+C(n)(1)x^1(1-x)^(n-1)+......+C(n)(n)x^n(1-x)^0=[x+(1-x)]^n=1②f(x)=xg(x)=(1/n)C(n)(1)x^1(1-x)^(n-1)+......+(n/n)C(n)(n)x^n(1-x)^0(k/n)C(n)(k)=(k/n)*n!/[k!(n-k)!]=(n-1)!/[(k-1)!(n-k)!]=C(n-1)(k-1)∴g(x)=C(n-1)(0)x^1(1-x)^(n-1)+......+C(n-1)(n-1)x^n(1-x)^0=x[C(n-1)(0)x^0(1-x)^(n-1)+......+C(n-1)(n-1)x^(n-1)(1-x)^0=x*[x+(1-x)]^(n-1)=x你的图片我真的看不清