概念
卡方检验是一种用途很广的计数资料的假设检验方法，由卡尔·皮尔逊提出。它属于非参数检验的范畴，主要是比较两个及两个以上样本率( 构成比）以及两个分类变量的关联性分析。其根本思想就是在于比较 理论频数和实际频数 的 吻合程度或拟合优度 问题。
** 例一**
我们想知道喝牛奶对感冒发病率有没有影响，以下为数据统计的四格表：
通过简单的统计我们得出喝牛奶组和不喝牛奶组的感冒率为30.94%和25.00%，两者的差别可能是抽样误差导致，也有可能是牛奶对感冒率真的有影响。
为了确定真实原因，我们先假设喝牛奶对感冒发病率是没有影响的，即喝牛奶喝感冒时独立无关的，所以我们可以得出感冒的发病率实际是（43+28）/（43+28+96+84）= 28.29%
所以，理论的四格表应该如下表所示：
即下表：
如果喝牛奶喝感冒真的是独立无关的，那么四格表里的理论值和实际值差别应该会很小。
那如何来描述这种差别呢，我们定义卡方值为
其中，A为实际值，T为理论值。
x2用于衡量实际值与理论值的差异程度（也就是卡方检验的核心思想），包含了以下两个信息：
根据卡方检验公式我们可以得出例1的卡方值为：
卡方 = (43 - 39.3231)平方 / 39.3231 + (28 - 31.6848)平方 / 31.6848 + (96 - 99.6769)平方 / 99.6769 + (84 - 80.3152)平方 / 80.3152 = 1.077
卡方值（理论值与实际值差异大小）的意义是什么呢？为此我们再引入一个概念：
卡方分布的临界值
上一步我们得到了卡方的值，但是如何通过卡方的值来判断喝牛奶和感冒是否真的是独立无关的？也就是说，怎么知道无关性假设是否可靠？
答案是，通过查询卡方分布的临界值表。
第一行表示显著性水平α
第一列表示自由度
这里需要用到一个 自由度 的概念，自由度等于V = (行数 - 1) * (列数 - 1)，对四格表，自由度V = 1。
对V = 1，喝牛奶和感冒（95%概率）不相关的卡方分布的临界值（最大）是：3.84。即如果卡方大于3.84，则认为喝牛奶和感冒（有95%的概率）相关。
临界值3.84的意义表示：如果卡方值＞3.84，则纵列因素与横行因素不相关的的概念＜0.05（即显著性水平），也即纵列因素与横行因素相关的概念＞0.95。
显然1.077<3.84，没有达到卡方分布的临界值，所以喝牛奶和感冒独立不相关的假设没有被推翻。
简单说，如果我们计算出的卡方值（表示实际值与理论值的差异，越大表示实际值与理论值越不符，即越有可能纵列因素会影响横行数值）大于临界值（列因素不影响横行值的范围：0~临界值），我们就排斥原假设（H0，即纵列因素不影响横行的因素的变化），接受备择假设（H1：纵列因素对横行的因素变化有影响）；反之，卡方值小于临界值，即在（纵列与横行互不影响这一假设）理论范围内，无法推翻原假设，即无统计差异。