设向量a1,a2,a3线性无关,试证向量b1=a1+a2,b2=a1+a3,b3=a2+a3也线性无关。

Question

如题所述

Answer 1

反证法：
解：假设b1，b2，b3线性相关，
那么必定存在不全为0的k1，k2，k3，使得k1b1+k2b2+k3b3=0
将b1，b2，b3代入得
k1（a1+a2）+k2（a1+a3）+k3（a2+a3）=0
整理得（k1+k2）a1+（k1+k3）a2+（k2+k3）a3=0
而a1,a2,a3线性无关，则有
k1+k2=0
k1+k3=0
k2+k3=0
三个方程联立解得k1=0，k2=0，k3=0
与假设“必定存在不全为0的k1，k2，k3，使得k1b1+k2b2+k3b3=0”矛盾
故假设不成立，b1,b2,b3线性无关。