把 n 个不同的元素排成一列, 叫做这 n 个元素的全排列 (简称排列) ．n 个不同元素的所有排列的种数, 通常用 表示. 且有:
先规定各元素之间有一个 标准次序 . 当某一对元素的先后次数与标准次序不同时, 就说它构成 1 个 逆序 . 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的 逆序数 . 逆序数为奇 (偶) 数的排列叫做 奇 (偶) 排列 .
定理 1 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性.
证明?
推论 奇 (偶) 排列对换成标准排列的兑换次数为奇 (偶) 数.
证明? (标准排列逆序数为 0 , 是偶数列. )
为给出 n 阶行列式的定义, 先研究三界行列式的结构. 三阶行列式定义为:
等式右边的每一项都是三个元素的乘积, 这三个元素 不同行不同列 . 因此, 每一项除正负号以外都可以写成 的形式. 即每一项元素的第一个下标(行标)排为标准次序 123 , 第二个下标(列标)排为 为 1, 2, 3 三个数的某个排列.
各项的正负号与列标的排列对照: 带正号的三项列标排列为 123, 231, 312 均为偶排列; 带负号的三项列标排列为 132, 213, 321 均为奇排列. 故:
其中 t 为排列 的逆序数.
定义 设有 个数, 排成 n 行 n 列的数表
则 个形如 的项的和 称为 n 阶行列式, 记作
简记作 , 其中数 为行列式 D 的 元.
主对角线以下 (上) 的元素都为 0 的行列式叫做上 (下) 三角形行列式; 特别主对角线一下和以上的元素都为 0 的行列式叫做对角行列式.
下三角行列式
证明?
记:
则行列式 称为行列式 的 转置行列式 .
性质 1 行列式与它的转置行列式相等.
证明?
性质 1 说明了行列式中的行与列具有同等的地位.
性质 2 对换行列式的两行 (列) , 行列式变号。
证明?
表示第 i 行, 表示第 i 列, 对换 i, j 两行记作 , 对换 i, j 两列记作 .
推论 如果行列式中有两行 (列) 完全相同, 则此行列式等于零.
性质 3 行列式中某一行 (列) 中所有元素都乘同一数 k, 等于用数 k 乘此行列式.
性质 4 行列式中如果有两行 (列) 元素成比例, 则此行列式等于零.
性质 5 若行列式中的某一行 (列) 的元素都是两数之和:
则:
证明?
性质 6 把行列式的某一行 (列) 的各元素乘同一个数然后加到另一行 (列) 对应的元素上去, 行列式不变.
证明?
在 n 阶行列式中, 把 元 所在的第 i 行和第 j 列划去后, 留下来的 阶行列式叫做 元 的余子式, 记作 .
叫做 元 的代数余子式.
引理 一个 n 阶行列式, 如果其中第 i 行所有元素除 元 外都为零, 那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积, 即
证明?
定理 行列式等于它的任一行 (列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即
或
证明?
推论 行列式某一行 (列) 的元素与另一行 (列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即
或