一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设全集U = R ，A = ，则 UA=（ ）．
A． B.｛x | x > 0｝ C.｛x | x≥0｝ D. ≥0
2． 是 “函数 的最小正周期为 ”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （ ）．
A．25 B．6 C．7 D．8
4.设两个非零向量 不共线，若 与 也不共线，则实数k的取值范围为
（ ）．
A． B．
C． D．
5.曲线 和直线 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（ ）．
A． B．2 C．3 D．4
6．右图为函数 的图象，其中m，n为常数，
则下列结论正确的是（ ）．
A． < 0 , n >1 B． > 0 , n > 1
C． > 0 , 0 < n <1 D． < 0 , 0 < n < 1
7．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该
水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是
A．① B．①② C．①③ D．①②③
8.下列程序执行后输出的结果是( C )
A、-1 B、0 C、1 D、2
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案写在横线上）．
9、某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图
如图所示，若130-140分数段的人数为90人，则90-100分数段的人数为
10． ．
11．已知i， j为互相垂直的单位向量，a = i – 2j， b = i + λj，且a与b的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 ．
12已知函数 ,对任意实数 满足 且
则 .
13符号 表示不超过 的最大整数，如 ，定义函数 ，
那么下列命题中正确的序号是 ．
（1）函数 的定义域为R，值域为 ； （2）方程 ，有无数解；
（3）函数 是周期函数； （4）函数 是增函数.
14.在平面直角坐标系中，已知曲线c： ，（ ）
则曲线c关于y=x对称的曲线方程是
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分 分）已知 ，
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求 的值．
16．（本题满分 分）在一个盒子中，放有标号分别为 ， ， 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 、 ，记 ．
（Ⅰ）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量 的分布列和数学期望．
17．（本题满分 分）如图，已知正三棱柱 — 的底面边长是 ， 是侧棱 的中点，直线 与侧面 所成的角为 ．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ） 求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
18．（本小题满分14分）一束光线从点 出发，经直线 上一点 反射后，恰好穿过点 ．
（Ⅰ）求点 关于直线 的对称点 的坐标；
（Ⅱ）求以 、 为焦点且过点 的椭圆 的方程；
（Ⅲ）设直线 与椭圆 的两条准线分别交于 、 两点，点 为线段 上的动点，求点 到 的距离与到椭圆 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点 的坐标．
19．（本题满分 分）已知数列 满足： 且
．
（Ⅰ）求 ， ， ， 的值及数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ；
20．（本题满分 分）已知函数 和点 ，过点 作曲线 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ．
（Ⅰ）设 ，试求函数 的表达式；
（Ⅱ）是否存在 ，使得 、 与 三点共线．若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数 ，在区间 内总存在 个实数 ， ，使得不等式 成立，求 的最大值．
综合测试卷(一)理科答案
一、 选择题：
1. 答案：C. ｛x | x≥0｝,故选C.
2.C
3. （理）对于 中，当n＝6时，有 所以第25项是7．选C.
4.D
5.A． ∵
＝ ，
∴根据题意作出函数图象即得．选A．
6. 答案：D．当x=1时，y＝m ,由图形易知m<0, 又函数是减函数，所以0<n<1,故选D．
7.A
8.C
二、填空题：
9.810
10．答案： ．
11. 答案： .
12.
13. （2）、（3）
14.
15．（本题满分 分）
已知 ，
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
解：（Ⅰ）由 , ， ………………………2分
． …………………5分
（Ⅱ） 原式＝
…………………10分
． …………………12分
16．（本题满分 分）
在一个盒子中，放有标号分别为 ， ， 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 、 ，记 ．
（Ⅰ）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量 的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ） 、 可能的取值为 、 、 ，
， ，
，且当 或 时， ． ……………3分
因此，随机变量 的最大值为 ．
有放回抽两张卡片的所有情况有 种，
．
答：随机变量 的最大值为 ，事件“ 取得最大值”的概率为 ． ………5分
（Ⅱ） 的所有取值为 ．
时，只有 这一种情况，
时，有 或 或 或 四种情况，
时，有 或 两种情况．
， ， ． …………11分
则随机变量 的分布列为：
因此，数学期望 ． ……………………13分
17．（本题满分 分）
如图，已知正三棱柱 — 的底面边长是 ， 是侧棱 的中点，直线 与侧面 所成的角为 ．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ） 求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
解：（Ⅰ）设正三棱柱 — 的侧棱长为 ．取 中点 ，连 ．
是正三角形， ．
又底面 侧面 ，且交线为 ．
侧面 ．
连 ，则直线 与侧面 所成的角为 ． ……………2分
在 中， ，解得 ． …………3分
此正三棱柱的侧棱长为 ． ……………………4分
注：也可用向量法求侧棱长．
（Ⅱ）解法1：过 作 于 ，连 ，
侧面 ．
为二面角 的平面角． ……………………………6分
在 中， ，又
， ．
又
在 中， ． …………………………8分
故二面角 的大小为 ． …………………………9分
解法2：（向量法，见后）
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知， 平面 , 平面 平面 ，且交线为 ， 过 作 于 ，则 平面 ． …………10分
在 中， ． …………12分
为 中点， 点 到平面 的距离为 ． …………13分
解法2：（思路）取 中点 ，连 和 ，由 ，易得平面 平面 ，且交线为 ．过点 作 于 ，则 的长为点 到平面 的距离．
解法3：（思路）等体积变换:由 可求．
解法4：（向量法，见后）
题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：
（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系 ．
则 ．
设 为平面 的法向量．
由 得 ．
取 …………6分
又平面 的一个法向量 …………7分
． …………8分
结合图形可知，二面角 的大小为 ． …………9分
（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2， …………10分
点 到平面 的距离 ＝ ．13分
18． （本小题满分14分）
一束光线从点 出发，经直线 上一点 反射后，恰好穿过点 ．
（Ⅰ）求点 关于直线 的对称点 的坐标；
（Ⅱ）求以 、 为焦点且过点 的椭圆 的方程；
（Ⅲ）设直线 与椭圆 的两条准线分别交于 、 两点，点 为线段 上的动点，求点 到 的距离与到椭圆 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点 的坐标．
解：（Ⅰ）设 的坐标为 ，则 且 ．……2分
解得 ， 因此，点 的坐标为 ． …………………4分
（Ⅱ） ，根据椭圆定义，
得 ，……………5分
， ．
∴所求椭圆方程为 ． ………………………………7分
（Ⅲ） ， 椭圆的准线方程为 ． …………………………8分
设点 的坐标为 , 表示点 到 的距离， 表示点 到椭圆的右准线的距离．
则 ， ．
， ……………………………10分
令 ，则 ，
当 ， ， ， ．
∴ 在 时取得最小值． ………………………………13分
因此， 最小值＝ ，此时点 的坐标为 ．…………14分
注： 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．
说明：求得的点 即为切点 ， 的最小值即为椭圆的离心率．
19．（本题满分 分）
已知数列 满足： 且 ， ．
（Ⅰ）求 ， ， ， 的值及数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ；
解：（Ⅰ）经计算 ， ， ， ．
当 为奇数时， ，即数列 的奇数项成等差数列，
；
当 为偶数， ，即数列 的偶数项成等比数列，
．
因此，数列 的通项公式为 ．
（Ⅱ） ，
……（1）
…（2）
（1）、（2）两式相减，
得
．
．
20．（本题满分 分）
已知函数 和点 ，过点 作曲线 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ．
（Ⅰ）设 ，试求函数 的表达式；
（Ⅱ）是否存在 ，使得 、 与 三点共线．若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数 ，在区间 内总存在 个实数
， ，使得不等式 成立，求 的最大值．
解：（Ⅰ）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，
， 切线 的方程为： ，
又 切线 过点 ， 有 ，
即 ， ………………………………………………（1） …… 2分
同理，由切线 也过点 ，得 ．…………（2）
由（1）、（2），可得 是方程 的两根，
………………（ * ） ……………………… 4分
，
把（ * ）式代入,得 ,
因此，函数 的表达式为 ． ……………………5分
（Ⅱ）当点 、 与 共线时， ， ＝ ，
即 ＝ ，化简，得 ，
， ． ………………（3） …………… 7分
把（*）式代入（3），解得 ．
存在 ，使得点 、 与 三点共线，且 ． ……………………9分
（Ⅲ）解法 ：易知 在区间 上为增函数，
，
则 ．
依题意，不等式 对一切的正整数 恒成立， …………11分
，
即 对一切的正整数 恒成立，．
， ，
．
由于 为正整数， ． ……………………………13分
又当 时，存在 ， ，对所有的 满足条件．
因此， 的最大值为 ． ……………………………14分
解法 ：依题意，当区间 的长度最小时，得到的 最大值，即是所求值．
， 长度最小的区间为 ， …………………11分
当 时，与解法 相同分析，得 ，
解得 ． ……………………………13分
后面解题步骤与解法 相同（略）．
参考资料：记得赏分了....