设G是一个群,证明:如果G/Z(G)是循环群,则G是交换群答:显然中心Z(G)是G的一个正规子群,如果G/Z(G)是循环群,且则G/Z(G)=<aH>时:令xH,yH属于<aH>,且xH=<aH>的s次方,yH=<aH>的t次方,则xH=a的s次方*H,yH=a的t次方*H,所以有p属于H和q属于H使得x=a的s次方*p,y=a的t次方*q,由于中心Z(G)满足交换律,所以xy==(a的s次方*p)(...
近世代数理论基础11:陪集分解答:设G是群,H是G的子群,在G上定义关系 ,则 为集合G上的等价关系 注:1. , ,故 2.若 ,则 ,故 ,即 3.若 ,则 ,故 ,即 定义:设G是群, , ,集合 称为a关于H的左陪集 例:1.设 , 是 的子群,则 关于子群H的所有左陪集为 3. 是 的子群 所有陪集为 4...
近世代数理论基础16:群在集合上的应用答:定义:设G是群,X是一个集合,若存在一个映射 ,将 在 下的像记作 ,满足条件:1.设e为G的单位元, ,有 2. ,有 则称群G作用在集合X上 设群G在作用集合X上,则可诱导出集合X上的一个关系 ,易证R为集合X上的等价关系,在该等价关系下,元 所在的等价类称为轨道,记作 由等价关系...
设(G,·)是群,若对于任意X输入G,都有|X|=1或2,则(G,·)是阿贝尔群答:任取a,b属于G,若a,b其中之一为一阶元,即为单位元e,则必有ab=ba。若a,b均为二阶元,即 a^2=b^2=e 从而 a=a^(-1),b=b^(-1)由于G为群,从而对乘法封闭,ab属于G。则|ab|=1或2.1)、若|ab|=e,即ab=e,故 a^(-1)b^(-1)=(ba)^(-1)=e 因此ab=ba=e 2)、若|...