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流形M
3.切向量和切空间
答:
这样的 T_p f 称为流形 M 在点 p 处的切向量
,而 T_p M 就是所有切向量组成的集合,它构成了流形在该点的局部线性结构。为了更好地理解,我们来证明一个关键引理:引理3.1: 设 M 是 n 维光滑流形,p 是其一点,如果在 p 处存在容许坐标系,记 u_1, ..., u_n 为基向量。那么,...
设黎曼
流形M
具有非正截面曲率,设U 是M上沿测地线的非零正交Jacobi场,证 ...
答:
证明:在黎曼
流形
上
M
,Jacobi场U满足以下微分方程:(D^2/dt^2)U+R(J,V)*V=0 其中V是沿测地线的切向量,R是黎曼曲率张量。对于非零正交Jacobi场U,我们有U⊥V,因此R(U,V)*V≠0。由于U是非零正交Jacobi场,因此(D^2/dt^2)U≠0。设p是U的一个零点,即U(p)=0。现在我们需要证明U...
给定两个微分
流形M
、N ,M与N是微分同胚的,这两个流行是否一定拓扑同胚...
答:
m维微分流形 Mm是局部欧几里得空间
,即每点x∈M存在邻域u及同胚j:u→v,其中v是Rm的一个开集,(u,j)为Mm在点x的局部坐标且一点的两个局部坐标之间的坐标变换是C¥光滑的。两微分流形之间的可微映射f: Mm→Nn是指它们在每点x∈Mm的局部表示ψof oj1-1:Rm→Rn是C¥光滑的且f...
一维
流形
分类
答:
n维流形M的边缘∂
M是n-1维无边缘流形
。紧的无边缘的连通流形称为闭流形,非紧的无边缘的连通流形称为开流形。存在连通的但非仿紧的拓扑流形。一维的这种流形称为长直线。[1]圆周 圆周是除欧氏空间外最简单的流形。让我们考虑二维平面内一个半径为1,圆心在原点的圆(单位圆)。若x和y是平面...
诺特定理的证明
答:
场论中,
M是时空流形,而目标空间是场在任何给定可取的值的集合
。例如,如果有m个实值标量场,φ1,...,φm,则目标流形是Rm。若流形是一个实向量场,则目标流形同构于R3。现在设有一个泛函称为作用量。(注意它在中而非中取值;这是有物理原因的,并且并不影响本证明。)要得到通常版本的诺特...
诺特定理证明
答:
诺特定理的证明涉及流形理论和物理领域的概念,让我们逐步理解。首先,考虑一个n维
流形M
和目标流形T,这些在物理学中有着广泛应用。在经典力学中,M可能是一个代表时间的实数R,而T是广义位置的余切丛。在场论中,M是时空流形,T则是标量场或向量场的值域,如Rm或R3。在这些背景下,有一个泛函S[φ]...
求2021的欧拉函数值
答:
无边)微分流形。称为向量丛ξ的欧拉数。设M如上述,ξ=TM,则χ(ξ)称为
流形M
的欧拉特征,记为χ(M)。例如,χ(S……2n)=2(因而S^2n上任何向量场均有零点),χ(S)=0.欧拉数是向量丛的同构不变量.在流形的切丛情形,得到在代数拓扑中有广泛应用的拓扑不变量——流形的欧拉特征数。
复
流形
Hermitian度量和凯勒
流形
答:
在复
流形M
中,当一个特定的复形式被赋予一个埃尔米特阵定义的黎曼度量时,我们称其为埃尔米特度量,这样的复流形则被命名为埃尔米特流形。值得注意的是,埃尔米特流形总是存在这种度量的。在埃尔米特流形中,引入了一个关键的二次外微分形式,即凯勒形式。在复坐标系中,其局部表达形式独特。如果这个...
辛几何基本简介
答:
当探讨高维空间的特殊性质时,我们引入辛几何这一概念。它主要关注的对象是2n维的微分
流形M
。在辛几何的框架下,我们关注的是一种名为辛结构的特殊对象,它由一个二次微分形式ω来定义。首先,辛结构要求ω满足两个关键条件。一是它必须是闭合的,这意味着ω经过微分运算d后,其结果dω等于零。这是...
DG2.
流形
的定义和例子
答:
为了在光滑
流形
上推广图形,我们依赖于Jacobi矩阵的秩,确保变换的秩最大化。通过方程的限制,反函数定理确保了通过给定的m个方程可以唯一确定一个n-m维的子
流形
。这样的例子包括一般线性群和纽结补例,它们作为开子流形,反映了流形的内在结构。总结流形的定义和例子展示了数学世界的丰富多样性,从最...
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