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交换单群一定是素数阶循环群
证明:有限
交换单群一定是素数阶循环群
答:
交换
的
单群
的所有子群都正规,所以它必须没有非平凡子群。直接用Abel的直和分解,如果它有不止一个因子的话,头一个因子所对应的就是一个非平凡子群。
证明15
阶交换群
必
为循环群
答:
基本上所有的抽象代数的书上都会有这条定理:
如果群G是交换的,并且阶为p*q(p,q为素数),那么G一定是循环群.证明一般用的是柯西定理或者希洛定理.以下证明用到柯西定理.柯西定理
:若G是一个有限群且p是一个可整除G的阶(G的元素数目)的质数,则G会有一个p阶的元素.在本题中15=3*5,所以群...
怎么理解群论中的
交换
律?
答:
素数阶群都是单群,从而都是循环群
,也就是abel群。只需要考虑非素数阶的群就行了。也就是只要考虑四阶群就行了。假设这个四阶群不是循环群,(是循环群必然是abel群了)那它有非平凡子群,子群必为2阶。取群中两个非单位元a,b。他们分别构成的循环群都是二阶,从而a*a=b*b=e e为单位元。
循环群
的
阶一定是素数
吗
答:
不一定是素数
。循环群是指群中每个元素的阶均等于群中其他元素的阶的群。循环群的阶可以是素数,也可以是合数。如{1,i,-1,-i}就是阶为4(合数)的循环群,其中i是复数单位。阶为素数的循环群被称为循环素数群,是一种非常特殊的群。
由一个元素生成的群
一定是循环群
吗?还有
循环群一定是
由一个元素生成吗...
答:
由一个元素生成的群一定是循环群,因为循环群就是能由一个元素生成的
。循环群的定义就是其中的任一元素都能表示成某个固定元素的幂。另外,循环群也是交换群。第二个问题:循环群可以由一个元素生成,这个元素称为循环群的生成元,循环群的生成元可以不唯一。
交换群
在什么情况下
是循环群
答:
如果群<G,*>中的运算*是可交换的,则称该群为阿贝尔群,或称
交换群
。设<G,*>为群,若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都由a的幂组成,则称该
群为循环群
,元素a称为循环群G的生成元。现在设<G,*>为群,里面有a,a*a,a*a*a,...记作a,a^2,a^3,...假设任意i<j, a^i *...
证明:
阶是素数
的群
一定是循环群
。。。
答:
首先,因为p
是素数
,所以p大于1(1不是素数),即G不是只由单位元构成的1
阶群
,G中存在异于单位元e的元素。设a∈G,a≠e,则o(a)≠1。由Lagrange定理知a的阶o(a)必定是p的因子,由于p是素数,p的因子只有1和p两个,因此只能o(a)=p。由于o(a)=|G|,所以G是
循环群
。证毕。
由一个元素生成的群
一定是循环群
吗?还有
循环群一定是
由一个元素生成吗...
答:
由一个元素生成的群
一定是循环群
,因为循环群就是能由一个元素生成的。循环群的定义就是其中的任一元素都能表示成某个固定元素的幂。另外,循环群也是
交换群
。第二个问题:循环群可以由一个元素生成,这个元素称为循环群的生成元,循环群的生成元可以不唯一。
请教一个关于有限接群可解得充要条件
答:
必要性:若G可解,则必存在一个合成群列,且商因子为单Abel群,故
为素数阶循环群
。充分性:显然素数阶循环群必是
单群
且
交换
,所以该正规群列为G的一个合成群列,故G可解。
小记:有限
单群
分类
答:
素数群
是简单的,有限
交换单群
分类,就只有素数群,它们构成了
交换群
的基础,任意一个有限交换群总可以分解为几个素数群的直积。这一结果不难理解,就像素数在整数乘法中起到的基础作用一样,群按照
阶
来看的话,和整数理论没什么区别,因为阶总是整数,而子群的阶总能整除群的阶,可以视
为群
的阶的...
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